第六
第六章答案
弯曲应力
6.1钢丝直径d=0.4mm, 弹性模量E=200GPa, 若将钢丝弯成直径D=400mm的圆弧时，试求钢丝横截面上的最大弯曲正应力。（200MPa） 解：钢丝的弯矩和中性层曲率半径之间的关系为：
1?则： M??MEI
EI?，由弯曲正应力公式得?max?Mymax?=
Eymax?，钢丝弯成圆弧后，产生的弯
曲变形，其中性层的曲率半径??D?dD? 22?max
dE()3200?10?0.4Ed2=??200MPa ?DD40026.2 矩形截面梁如图所示。b = 8cm, h =12cm, 试求危险截面上a、c、d三点的弯曲正应力。（20.8MPa, 10.4MPa, 0） 解：由平衡方程
? ?MA(F)?0
得到： FA?FB?1?2?4?4KN 2 危险截面在梁的中点处：
FAFBMmax?Iz=
121ql??2?42?4KNm 8811?b?h2=?80?1203?1152?104mm4 F s ?12124KNMya?a??0IzMyc4?106?30??10.42MPa ?c?4Iz1152?10Myd4?106?60?d???20.83MPa4Iz1152?10
4KNM4KNm?机械
M?4KNm土木
6.3 从直径为d的圆木中截取一矩形截面梁，试根据强度观点求出所截取的矩形截面的最合理的高h和宽b。(h=
63d, b=d) 33 解：最大弯曲正应力：
?max?MmaxMymax?max IzWzh/b的最佳值应应使梁的抗弯截面系数为最大。抗弯截面系数： W?1211bh?b(d2?b2)?(d2b?b3) 666为b为自变量的函数。
dWd2?3b2??0 由 dt6b?d236d?d h?d2?b2? 3336.4 图示两根简支梁，其跨度、荷载及截面面积都相同。一个是整体截面梁，另一个是由两根方木叠置而成（二方木之间不加任何联系），试画出沿截面高度的弯曲正应力分布图，并分别计算梁中的最大弯曲正应力。（3ql216a3 ,
3ql28a3）
1解：做出梁的弯矩图如右所示：
（1）对于整体截面梁： Wz?M8ql2机械
1212bh?a?(2a)2?a3 633MmaxWz12ql3ql2 M8 ??2316a3a3??18ql2土木
故：?max?（2）对于两根方木叠置
由于这是两个相同的方木叠合而成， 且其之间不加任何的联系，故有
3ql28a33ql216a33ql28a33ql8a323ql216a3M1?M2??max11Mmax,Wz?a3,26112 ?(ql)M1283ql2???1Wz18a33a66.5 某梁的矩形截面如图，弯曲剪力Qy＝40kN，求截面上a、b、c三点的弯曲剪应力。（?a?2MPa，?b?1.5MPa，?c?0）
解：从图形上可以看出截面形心在其对称中心上， 且有Iz?131bh??150?2003?108mm4 1212Sz?50?150?75?5.625?105mm3
再有矩形截面梁的弯曲正应力
3FS340?103???2.0 MPa ，故 ?c?0, ?a????2A2150?200Izb?FSSz40?103?5.625?105?b???1.5 MPa 8Izb10?150FSSz?6.6 图示简支梁由三块木板胶合而成，l=1m, 胶缝的许用剪应力为????0.5MPa，木材的许用弯曲正应力为????10MPa，许用剪应力为????1MPa，试求许可荷载P。（P=8.1kN）
解：依题给条件，对梁进行受力分析， 由平衡条件，列平衡方程，做出剪力图
和弯矩图如右所示 （1）按木材弯曲正应力强度要求确定许可荷载
?max11PlP?1Mmax44????????10
1FsWW?90?12026?P?8640N P2（2）按木材剪应力强度要求确定许可荷载 ?max
1P3FS3????2?????1 2A290?120M1Pl4P2?P?1440N0
机械
土木
1Pl4（3）按胶合面剪应力强度要求确定许可荷载
1P?(40?90?40)?FS ?'?Sz?2??'?0.5
1Izb?90?1203?9012 ?P?8100N
??综上所述可知 P=8100N=8.1KN
6.7 在图a中，若以虚线所示的纵向面和横向面从梁中截出一部分，如图b所示，试求在纵向面abcd上由?dA组成的内力系的合力，并说明它与什么力平衡。（Q=
3q(l?x)x） 4h 解：有剪应力互等定律可知，纵向截面 上剪应力与横向截面上剪应力大小相等， 中性层上剪应力变化规律为：
?1?3?ql?qx?3FS?x?2? ?3q?l?2x?
?? ??x??a2A2Bh4Bhh 纵截面abcd上剪应力合力为：
2dbb'cc'a'F????x?B?dx??0xx0 ?3qx?l?2x?4h3q?l?2x?B?dx4Bh??x?
aa'b'b??x?6.8 图示梁由两根36a工字钢铆接而成。铆钉的间距为s=150mm, 直径d = 20mm, 许用剪应力????90MPa。梁横截面上的剪力Fs = 40kN。试校核铆钉的剪切强度。（?＝16.2MPa） 解：查表可得，36a工字钢的惯性矩 Ιz?15800cm，截面面积??76.48cm 截面高度h?36cm。组合惯性矩为
42Ιzc?2Ιz?d2A?215800?182?76.48?81200cm4
一根工字钢的截面对中性轴的静面矩为：Szc?18?76.48?1380cm铆钉连接处的纵截面上的剪力流： f??FSzc?3????
Iz40?103?1380?10?6??68KN/m
81200?10?8有铆钉间距 S?2Q铆f，得每个铆钉承受的剪力为：
sf0.15?68?103??5100N Q铆?22铆钉的剪应力： ??Q铆1?3.14?d24?16.2MPa ? ???=90 Mpa
故，校核安全。
6.9 半径为r的圆形截面梁，切掉画阴影线的部分后，反而有可能使抗弯截面模量增大（何故？）。试求使W为极值的?，并问这对梁的抗弯刚度有何影响？（??78O）
解：切掉阴影部分后剩余的面积，是由4个相同的直角三角形和4个相同的扇形面积组成，一个直角三角形面积对水平直径的惯性矩为：
I1x?1313bh??rsina??rcosa?441?r3cosa?sin3a4
一个扇型面积对水平直径的惯性矩为：
I2x??y2??dAA????sin?????d??d??20r
??r0r4?d??sin??d??043a2?a1???sina??24?因为圆截面在中性轴附近聚集了较多的材料而离中性轴远处的材料却较少，当切掉适当的小弓形面积后，使之离中性轴远处的材料密集度增大，因而抗弯截面系数笔增大。剩余面积对水平直径的惯性矩为：
Ix?4I1x?4I2xr4?a1?43?r??sin2a??rcosa?sina??4a?sin4a?
8?24?41?4a?sin4a?r3?4a?sin4a?Ix?8?抗弯截面系数： Wx? ymax4sina8sinadWxr3?4?4cos4asina?4a?sin4acosa?????02da8?sina?
??????4?4cos4a?sina??4a?sin4a?cosa?0?a?0或者a?78?
Wxmax?0.791r3， Ix?0.77r44