2017届高考新课标Ⅰ卷导数题型及解法总结（二)
参考题1. 已知函数f(x)?|x?a|?lnx(a?0). （1）若a?1,求f(x)的单调区间及f(x)的最小值； （2）若a?0，求f(x)的单调区间；
ln22ln32lnn2(n?1)(2n?1)（3）试比较）2?2???2与的大小，(n?N*且n?2)，并证
23n2(n?1)明你的结论。
1x?1??0. xx1?f(x)在区间?1,???上是递增的.当0?x?1,f(x)?1?x?lnx,f?(x)??1??0[
x（1）a?1,f(x)?x?1?lnx 当x?1时,f(x)?x?1?lnx,f?(x)?1??f(x)在区间(0,1)上是递减的.
（2）若a?1,当x?a时，f(x)?x?a?lnx,f?(x)?1?1x?1??0.则f(x)在区间xx1[a,??]上是递增的；当0?x?a时,f(x)?a?x?lnx,f?(x)??1??0?f(x)在
x区间(0,a)上是递减的．（6分）
若0?a?1,当x?a时,f(x)?x?a?lnx,
f?(x)?1?1x?1?,x?1,f?(x)?0,a?x?1,f?(x)?0 xx则f(x)在区间[1,??)上是递增的，f(x)在区间[a,1)上是递减的； 当0?x?a时,f(x)?a?x?lnx,f?(x)??1?1?0, xf(x)在区间（0，a）上是递减的，而f(x)在x?a处连续；
则f(x)在区间[1,??)上是递增的，在区间（0，1）上是递减的 （8分）
时,f(x)的递增区间是[a,??)，递减区间是（0，a）综上：当a?1；
当0?a?1时，f(x)的递增区间是[1,??)，递减区间是（0，1） （9分）
（3）由（1）可知，当a?1，x?1时， 有x?1?lnx?0，即
lnx1?1? xx
ln22ln32lnn2?2?2???223n?1?111?1????1?2232n2
?n?1?(111????) 2232n2111111111) ????)?n?1?(???????2334nn?12?33?4n(n?1)
?n?1?(11(n?1)(2n?1) （14分） ?n?1?(?)?2n?12(n?1)（Ⅱ）当a?1时,f(x)【答案】（Ⅰ）f(x)的增区间为[减区间为（0，1），f()1,??)，xnim0.?的递增区间是[a,??)，递减区间是（0，a）；当0?a?1时，f(x)的增区间[1,??)，减区间（0，1）
参考题2. 已知函数f(x)?ex(x2?ax?a)，其中a是常数. （Ⅰ）当a?1时，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求f(x)在区间[0,??)上的最小值.
【解析】（Ⅰ）由f(x)?ex(x2?ax?a)可得 f'(x)?x2ex[?a(? 2. x) ] 当a?1时,f(1)?e ,f'(1)?4e. 所以 曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?e?4e?x?1?，即y?4ex?3e. （Ⅱ）令f'(x)?e[x?(a?2)x]?0，
解得x??(a?2)或x?0. 当?(a?2)?0，即a??2时，在区间[0,??)上，
x2f'(x)?0，所以f(x)是[0,??)上的增函数.
所以f(x)的最小值为f(0)＝?a; 当?(a?2)?0，即a??2时, f'(x),f?x?随
x的变化情况如下表
x f'(x) f(x) 0 0 (0,?(a?2)) ?(a?2) 0 (?(a?2),??) + ↗ - ↘ f(0) f(?(a?2)) a?4. a?2e参考题3. 已知函数f(x)是定义在实数集R上的奇函数，当x?0时，f(x)?ax?lnx，
由上表可知函数f(x)的最小值为f(?(a?2))?
其中a?R．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）若函数f(x)在区间(?? , ?1)上是单调减函数，求a的取值范围； （3）试证明对?a?R，存在??(1 , e)，使f(?)?/f(e)?f(1)．
e?121. 解：⑴f(0)?0 ??????1分
x?0时，f(x)??f(?x)?ax?ln(?x)??3分，
x?0?ax?lnx , ? x?0 ????????4分 所以f(x)??0 , ?ax?ln(?x) , x?0?⑵函数f(x)是奇函数，则f(x)在区间(?? , ?1)上单调递减，当且仅当f(x)在区间
(1 , ??)上单调递减，当x?0时，f(x)?ax?lnx，f/(x)?a?由f(x)?a?/1 ?????6分 x111?0得a????8分，?在区间(1 , ??)的取值范围为(?1 , 0)
xxx所以a的取值范围为(?? , ?1] ???????????9分
⑶
f(e)?f(1)(ae?1)?a111/??a???10分，解f(?)?a??a?
e?1e?1e?1?e?1得??e?1??11分，因为1?e?1?e，所以??e?1为所求 ????12分. 参考题6. 在直角坐标平面内，已知三点A、B、C共线，函数f?x?满足：
?????????????OA?[f?x??2f'?1?]OB?ln?x?1??OC?0
（1）求函数f?x?的表达式；（2）若x?0，求证：f?x??（3）若不等式
2x； x?212x?f?x2??m2?2bm?3对任意x???1,1?及任意b???1,1?都成2立，求实数m的取值范围。
????????????解：（1）∵三点A、B、C共线且OA?[f(x)?2f'(x)]OB?ln(x?1)?OC
∴f(x)?2f'(1)?ln(x?1)?1?f(x)?1?2f'(1)?ln(x?1)
11 得f'(1)? 故f(x)?ln(x?1) x?122x2x（2）证明：记g(x)?f(x)? 则g(x)?ln(x?1)?
x?2x?2 由f'(x)?14x2∵x?0时g'(x)????0g(x)在(0,?)上是单调增函数 22x?1(x?2)(x?1)(x?2)
2x成立 x?2121222（3）记?(x)?x?f(x)则?(x)?x?ln(x?1)
222x(x?1)x(x?1)?由?'(x)?x?2 又x?[?1,1] 知x?0时 x?1x2?1故g(x)?g(0)?0即f(x)??(x)取的最大值，且?(0)?0故原命题可化为对任意b?[?1,1]都有：m2?2bm?3?0恒
成立 记h(b)??2mb?m2?3 知?1?b?1时h(b)?0恒成立
2?h(?1)?0??m?2m?3?0????2?m?3或m??3
h(1)?0???m?2m?3?0
参考题7. 设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“①方程f(x)?x?0有实数根；②函数f(x)的导数f?(x)满足0?f?(x)?1”
(Ⅰ)判断函数f(x)?xsinx?是否是集合M中的元素，并说明理由； 24(Ⅱ)若集合M中的元素具有下面的性质：“若f(x)的定义域为D，则对于任意
[m,n]?D，都存在x0?[m,n]，使得等式f(m)?f(n)?(m?n)f?(x0)成立”
试用这一性质证明：方程f(x)?x?0只有一个实数根；
(Ⅲ)设x1是方程f(x)?x?0的实数根，求证：对于f(x)定义域中的任意的x2,x3，当|x2?x1|?1且|x3?x1|?1时，|f(x3)?f(x2)|?2
解：(Ⅰ)易证函数f(x)?xsinx?满足条件①②，因此f(x)?M 24(Ⅱ)假设f(x)?x?0存在两个实根?,?(???)，则f(?)???0，f(?)???0不妨设???，由题知存在实数??(?,?)，使得f(?)?f(?)?(???)f?(?)成立。∵
f(?)??，f(?)??且???，∴f?(?)?1与已知矛盾，所以方程f(x)?x?0只有一
个实数根
(Ⅲ) 不妨设x2?x3，∵f?(x)?0，∴f(x)为增函数，∴f(x2)?f(x3)，又∵f?(x)?1∴函数f(x)?x为减函数，∴f(x2)?x2?f(x3)?x3，
∴0?f(x3)?f(x2)?x3?x2，即|f(x3)?f(x2)|?|x3?x2|，
∴|f(x3)?f(x2)|?|x3?x2|?|x3?x1?(x2?x1)|?|x3?x1|?|x2?x1|?2 参考题8. 已知函数f(x)?kx,g(x)?（Ⅰ）求函数g(x)?lnx的单调区间； xlnxx
（Ⅱ）若不等式f(x)?g(x)在区间(0,??)上恒成立，求实数k的取值范围；
ln2ln3lnn1??????? 4442e23nlnx1-lnx‘‘【解析】（Ⅰ）?g(x)?，故其定义域为(0,??)?g(x)?令g(x)>0,得2xx0?x?e
lnx‘令g(x)<0,得x?e故函数g(x)?的单调递增区间为(0,e)单调递减区间为(e,??)
xlnxlnxlnx1-2lnx‘‘,?k?2令h(x)?2又h(x)?（Ⅱ）?x?0,kx?令h(x)?0解得3xxxx（Ⅲ）求证：
x?e
‘当x在(0,??)内变化时，h(x)，h(x)变化如下表
x
‘h(x)
(0,e)
+ ↗
e
0
(e,??)
- ↘
1 2e11由表知，当x?e时函数h(x)有最大值，且最大值为所以，k?
2e2eh(x)
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
lnx1lnx11???(x?2) ?x42ex22ex2?ln2ln3lnn1111???????(??????)
2e22322434n4n2111111?????????????(n?1)n2232n21?22?3111111?(1?)?(?)?????(?)?1??1
223n?1nnln2ln3lnn11111ln2ln3lnn1?4?4?????4?(2?2?????2)?即4?4?????4?
2e22e2e23n3n23n