第5章 机械振动
5.7 质量为10?10kg的小球与轻弹簧组成的系统，按
?3x?0.1cos(8?t?2?3) (SI)的规律作谐振动，求：
⑴ 振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值； ⑵ 最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? ⑶ t2?5s与t1?1s两个时刻的位相差；
解：⑴设谐振动的标准方程为x?Acos(?t??0)，则知：
?x0?Acos?0解：因为?
v???Asin?0?0将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相。故有：?1?? ?3??32?3t??)， ?2??T22??5?x?Acos(t?)， ?4?T34x?Acos(2?3x?Acos(t??)
T22?5x?Acos(t??)
T41A?0.1m,??8?,?T??s,?0?2?/3
?4又vm??A?0.8?m?s ?2.51m?s，am??A?63.2m?s
?1?1?22?5.9 一质量为10?10?3kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t?0时位移为?24cm。求：
⑴t?0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； ⑵由起始位置运动到x?12cm处所需的最短时间； ⑶在x?12cm处物体的总能量。
解：由题已知A?24?10?2m,T?4.0s，∴ 又，t?0时，x0??A , ??0?0 故振动方程为：x?24?10?2cos(0.5?t)m
⑴ 将t?0.5s代入得：x0.5?24?10?2cos(0.5?t)m?0.17m
212mvm?3.16?10?2J 21?2 Ep?Ek?E?1.58?10J
212112当Ek?Ep时，有E?2Ep，即：kx??(kA)
222⑵ Fm?mam?0.63N，E?∴ x????2?T?0.5? rad?s-1
22A??m 220 ⑶ ????(t2?t1)?8?(5?1)?32?
5.8 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示。如果t?0时质点的状态分别是：
⑴x0??A； ⑵ 过平衡位置向正向运动； ⑶过x?F??ma??m?2x??10?10?3?(?2)2?0.17??4.2?10?3N
方向指向坐标原点，即沿x轴负向。
⑵ 由题知，t?0时，?0?0；t?t时，x0??A2,且v?0,故?t??3 ∴ t?AA处向负向运动； ⑷过x??处向正向运动。 22??????32/?2s 3试求出相应的初位相，并写出振动方程。
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⑶ 由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为：
E?1211?kA?m?2A2??10?10?3()2?(0.24)2?7.1?10?4J 2222解：由题5.11图(a)，∵t?0时，
x0?0 , v0?0 , ? ?0?3?2 , 又 A?10cm , T?2s
5.10 有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0g的物体时，伸长为4.9cm。用这个弹簧和一个质量为8.0g的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开
1.0cm后，给予向上的初速度v0?5.0cm/s，求振动周期和振动表达式。
解：由题知?k?m1g1.0?10?3x??9.8?2?0.2N?m?1 14.9?10而t?0时，x?20??1.0?10m,v0?5.0?10?2m?s-1 ( 设向上为正)
又
??k0.22m?8?10?3?5 , 即T????1.26s A?x2?(v0)2?(1.0?10?2)2??(5.0?10?2? 5)20?2?10?2m
v?2tan?05.0?105?0??x?1.0?10?2?5?1 , 即?0? 0?4∴ x?2?10?2cos5(t?54?)m
5.11 题5.11图为两个谐振动的x?t曲线，试分别写出其谐振动方程。
即：??2?T??rad?s?1，故 x1cos(?t?3a?0.2?)m
由题5.11图(b)∵t?0时，xA5?0?2,v0?0,??0?3
tA5?1?0时，x0?2,v0?0,??0?3 又????1?55513??2?，∴ ??6?
故x?0.1cos(55?b6?t?3)m 5.12 一轻弹簧的倔强系数为k，其下端悬有一质量为M的盘子。现有一质量为m的物体从离盘底h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是
盘子开始振动。
⑴ 此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同? ⑵ 此时的振动振幅多大?
⑶ 取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程。 解：⑴ 空盘的振动周期为2?Mk，落下重物后振动周期为2?M?mk，即增大。
⑵按⑶所设坐标原点及计时起点，t?0时，则x0??mgk。碰撞时，以
m,M为一系统动量守恒，即：m2gh?(m?M)v0
则有：vm2gh0?m?M，于是
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vmgm2ghmg2kh2 A?x0?(0)2?()2??1??kk(m?M)k(m?M)g（3）tan?0??22A2?A12?A2?2A1Acos30??(0.173)2?(0.2)2?2?0.173?0.2?3/2，∴ A2?0.1m ?0.01222设角AA1O为?，则：A?A1?A2?2A1A2cos? 2A12?A2?A2(0.173)2?(0.1)2?(0.02)2即：cos????0
2A1A22?0.173?0.1v02kh (第三象限)，所以振动方程为 ?x0?(M?m)g?k2kh?cos?t?arctan?
m?M(M?m)g??mg2khx?1?k(m?M)g5.13 有一单摆，摆长l?1.0m，摆球质量m?10?10?3kg，当摆球处在平衡位置时，若给小球一水平向右的冲量F?t?1.0?10?4kg?ms，取打击时刻
为计时起点(t?0)，求振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程。 解：由动量定理，有：F??t?mv?0
即???2，这说明，A1与A2间夹角为?2，即二振动的位相差为?2。 5.16 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为：
F??t1.0?10?4-1??0.01 m?s∴ v? ?3m1.0?10按题设计时起点，并设向右为x轴正向，则知t?0时，
??x?0.4cos(2t?)m?16 ?5?x2?0.3cos(2t??)m6?试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方
程。
解：∵ ???x0?0 , v0?0.01m?s?1 ＞0，∴ ?0?3?/2
g9.8??3.13rad?s?1 l1.0v2v0.012?3.2?10?3m ∴ A?x0?(0)?0???3.13?3故其角振幅：??Al?3.2?10rad
3?3小球的振动方程为：??3.2?10cos(3.13t??)rad
2又??5.14 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20m，位相与第一振动π/6的位相差为，已知第一振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差。
解：由题意可做出旋转矢量题5.14图。由图知
5?(??)??， ∴ A合?A1?A2?0.1m 66?5?0.4?sin?0.3sinAsin?1?A2sin?266?3 tan??1?A1cos?1?A2cos?20.4cos??0.3cos5?366∴ ???6
?其振动方程为：x?0.1cos(2t??6)m
(作图法略)
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第6章 机械波
6.8 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y=Acos(Bt?Cx)，amax??2A?(10?)2?0.05?5?2m?s?2
x0.2其中A，B，C为正值恒量。求：
⑴ 波的振幅、波速、频率、周期与波长；
⑵ 写出传播方向上距离波源为l处一点的振动方程；
⑶ 任一时刻，在波的传播方向上相距为d的两点的位相差。
解：⑴ 已知平面简谐波的波动方程：y?Acos(Bt?Cx) (x?0) 将上式与波动方程的标准形式：y?Acos(2??t?2?x?)比较，可知：
波振幅为A，频率??B2?B2?，波长??C，波速u????C，
波动周期T?12???B。
⑵ 将x?l代入波动方程即可得到该点的振动方程：y?Acos(Bt?Cl)
⑶ 因任一时刻t同一波线上两点之间的位相差为：???2??(x2?x1) 将x2?x2?1?d，及??C代入上式，即得：???Cd。 6.9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y=0.05cos(10?t?4?x)，式中
x,y以米计，t以秒计。求：
⑴ 绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；
⑵ 求x=0.2m处质点在t=1s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运动状态在t=1.25s时刻到达哪一点? 解：⑴ 将题给方程与标准式y?Acos(?t?2??x)相比，得：
振幅A?0.05m，圆频率??10?，波长??0.5m，
波速u??????2??2.5ms。 绳上各点的最大振速，最大加速度分别为：
vmax??A?10??0.05?0.5?m?s?1
⑵x?0.2 m处的振动比原点落后的时间为：
u?2.5?0.08s 故x?0.2m,t?1s时的位相就是原点(x?0)，在t0?1?0.08?0.92s时的位相，即：??9.2π。
设这一位相所代表的运动状态在t?1.25s时刻到达x点，则，
x?x1?u(t?t1)?0.2?2.5(1.25?1.0)?0.825m
6.11 一列平面余弦波沿x轴正向传播，波速为5 m/s，波长为2m，原点处质点的振动曲线如题6.11图所示。 ⑴ 写出波动方程；⑵作出t=0时的波形图及距离波源0.5m处质点的振动曲线。解： ⑴ 由题6.11(a)图知，A?0.1 m，且
t?0时，y3?0?0 , v0?0，∴?0?2， 又??u?5?2?2.5Hz，则??2???5? 取y?Acos[?(t?xx3?u)??0]，则波动方程为：y?0.1cos[5?(t?5)?2]m ⑵ t?0时的波形如题6.11(b)图
x?0.5m代入波动方程，得该点处的振动方程为：
y?0.1cos[5?t?5??0.55?3?2]?0.1cos(5?t??)m
如题6.11(c)图所示。
6.12 如题6.12图所示，已知t=0时和t=0.5s时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b)，周期T>0.5s,波沿x轴正向传播，试根据图中绘出的条件求：
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⑴ 波动方程；⑵P点的振动方程。 解：⑴ 由题6.12图可知，A?0.1m，??4m，又，
∴P点振动方程为yp?0.1cos(10?t?⑶ 由10?(t?4?) 3t?0时，y0?0,v0?0，
x?45)?|t?0???解得：x??1.67m 10333?， 2?x1u2??2 m?s-1，????0.5Hz，∴??2???? 而u??t0.5?4x?故波动方程为：y?0.1cos[?(t?)?]m
22∴?0?⑵ 将xP?1m代入上式，即得P点振动方程为：
⑷ 根据⑵的结果可作出旋转矢量图如题6.13图(a)，
则由P点回到平衡位置应经历的位相角
????3??5?? 26??∴所属最短时间为：?t???5?/61?s 10?126.14 如题6.14图所示，有一平面简谐波在空间传播，已知P点的振动方程为
yP=A cos(?t??0)。
⑴ 分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程；
⑵ 写出距P点距离为b的Q点的振动方程。
y?0.1cos[(?t??2??2)]?0.1cos?t m
6.13 一列机械波沿x轴正向传播，t=0时的波形如题6.13图所示，已知波速为10 m/s1，波长为2m，求： ⑴波动方程；
⑵ P点的振动方程及振动曲线； ⑶ P点的坐标；
⑷ P点回到平衡位置所需的最短时间。 解：由题6.13图可知A?0.1m，
解：⑴ 如题6.14图(a)，则波动方程为：y?Acos[?(t?如图(b)，则波动方程为：y?Acos[?(t?)??0]
⑵ 如题6.14图(a)，则Q点的振动方程为：AQ?Acos[?(t?)??0] 如题6.14图(b)，则Q点的振动方程为：AQ?Acos[?(t?)??0] 6.17 一平面余弦波，沿直径为14cm的圆柱形管传播，波的强度为18.0×10-3J/(m2·s)，频率为300 Hz，波速为300m/s，求波的平均能量密度和最大能量密度.
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t?0时，y0?A?,v0?0，∴?0?，由题知??2m，u?10m?s-1，则23lx?)??0] uu10?5Hz，∴??2???10?
?2x?⑴ 波动方程为：y?0.1cos[10?(t?)?]m
103A?4?⑵ 由图知，t?0时，yP??,vP?0，∴?P? (P点的位相应落
23后于0点，故取负值)
??u?xububu