I10?3?6?10?5J?m?3, 解： ∵I?wu, ∴ w??18.0?u300?3?4 wmax?2w?1.2?10 J?m
6.18 如题6.18图所示，S1和S2为两相干波源，振幅均为A1，相距?4，S1较S2位相超前?2，求：
⑴ S1外侧各点的合振幅和强度；⑵ S2外侧各点的合振幅和强度
解：（1）在S1外侧，距离S1为r1的点，S1S2传到该P点引起的位相差为：
界面处的位相为：?2?3????????? ?422?????2?2????2，∴ A?A?A?0,I?A?0 r?(r?)??1111????4?3?5??????，?42因只考虑2?以内的位相角，∴反射波在O点的位相为??2，故反射波的
x?波动方程为：y反?Acos[2??(t?)?]
u2x?x?y?Acos[2??(t?)?]?Acos[2??(t?)?]u2u2此时驻波方程为：
2??x? ?2Acoscos(2??t?)u22??x2???x?(2k?1) 故波节位置为：u?2若仍以O点为原点，则反射波在O点处的位相为?故 x?(2k?1)?4（2）在S2外侧.距离S2为r1的点，S1S2传到该点引起的位相差：
(k?0,?1,?2,…)
????2?2??(r2??4?r2)?0，∴ A?A1?A1?2A1,I?A2?4A 21根据题意，k只能取0,1，即x?13?,? 446.20 一平面简谐波沿x轴正向传播，如题6.20图所示。已知振幅为A，频率为?,波速为u。 ⑴ 若t=0时，原点O处质元正好由平衡位置向位移正方向运动，写出此波的波动方程；
⑵ 若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等，试写出反射波的波动方程，并求x轴上 因入射波与反射波干涉而静止的各点的位置。
解： ⑴ ∵t?0时，y0?0,v0?0， ∴?0??6.23 两列波在一根很长的细绳上传播，它们的波动方程分别为
y1=0.06cos(?x?4?t)(SI), y2=0.06cos(?x?4?t)(SI)。
⑴ 试证明绳子将作驻波式振动，并求波节、波腹的位置； ⑵ 波腹处的振幅多大?x=1.2m处振幅多大? 解：⑴ 它们的合成波为：
y?0.06cos(?x?4?t)?0.06cos(?x?4?t)?0.12cos?xcos4?t
出现了变量的分离，符合驻波方程特征，故绳子在作驻波振动。 令?x?k?，则x?k，k=0,±1，±2…此即波腹的位置；
?2，故波动方程为：y?Acos[2??(t?)?xu?2]m
1，k?0,?1,?2,…，此即波节的位置。
22⑵波腹处振幅最大，即为0.12m；x?1.2 m处的振幅由下式决定，即：
令?x?(2k?1),则x?(2k?1)?⑵ 入射波传到反射面时的振动位相为(即将x?32?3??代入)????，4?42A驻?0.12cos(??1.2)?0.097m
11
再考虑到波由波疏入射而在波密界面上反射，存在半波损失，所以反射波在
第7章 气体动理论基础 P218
7.20 设有N个粒子的系统，其速率分布如题7.20图所示。求 ⑴ 分布函数f(?)的表达式； ⑵ a与?0之间的关系； ⑶ 速度在1.5?0到2.0?0之间的粒子数。 ⑷ 粒子的平均速率。 (5) 0.5?0到?0区间内粒子平均速率。 解：⑴从图上可得分布函数表达式： Nf(?) 332av0N?0a?21?0a?21a?017a?0 ???d??d??(?)?N10.5?0N?0N1?0.5?0?0N13?024?0N12427a?07????06N9
?Nf(?)?a?/?0??Nf(?)?a?Nf(?)?0?(0????0)(?0???2?0)， (??2?0)7.21 试计算理想气体分子热运动速率的大小介于?p-?p/100与?p+?p/100之间的分子数占总分子数的百分比。 解：令u?a ? O dN42?u?，则麦克斯韦速率分布函数可表示为：?uedu
N?P?2?a?/N?0(0????0)?f(?)??a/N(?0???2?0)
?0(??2?0)?积为N. 由归一化条件：
?0 2?0
因为u=1,?u=0.02 由
题7.20图
?N42?u2?N4?ue?u，得 ??1?e?1?0.02?1.66% NN??⑵ f(?)满足归一化条件，但这里纵坐标是N f(?)而不是f(?),故曲线下的总面
7.22 容器中储有氧气，其压强为P=0.1MPa(即1atm)温度为27℃?求： ⑴ 单位体积中的分子数n；⑵ 氧分子的质量m；⑶ 气体密度ρ；⑷ 分子间的平均距离e；(5) 平均速率?；(6)方根速率?2；(7)分子的平均动能?。 解：⑴ 由气体状态方程p?nkT得：
??00Na??0d??N?2?0?0ad??N，可得a?2N 3?0⑶ 可通过面积计算??N?a?(2?0?1.5?0)?⑷N个粒子平均速率：
1N 32?0??? ??01?f(?)d??N??0?Nf(?)d????0a?20?0d????0a?d?
1123211(a?0?a?0)??0N329p0.1?1.013?10524-3
n???2.45?10m?23kT1.38?10?300M0.032⑵ 氧分子的质量：m?mol??5.32?1026 Kg 23N06.02?10M⑶ 由气体状态方程pV?RT，得：
MmolMmolp0.032?0.1?1.013?105????0.13kg?m?3
RT8.31?300(5) 0.5?0到?0区间内粒子数：N1?0.5?0到?0区间内粒子平均速率：
13N(a?0.5a)(?0?0.5?0)?a?0? 284⑷ 分子间的平均距离可近似计算
e?13n?132.45?1024?7.42?10?9 m
????00.5?0?dNN1?N?0?dNN?0??f(?)d? ??0.5?0.5?00N1NN1(5) 平均速率：??1.60RT8.31?300?1.60?446.58m?s?1 Mmol0.03212
RT2?482.87m?s?1 (6) 方均根速率：??1.73Mmol55?23?20(7) 氧分子的平均动能：??kT??1.38?10?300?1.04?10J
227.23 1mol氢气，在温度为27℃时，它的平动动能、转动动能和内能各是多
少?
解：理想气体分子的能量：E??1.33×10-4Pa,平均碰撞频率又为多少(设分子有效直径为10-10m)? 解：⑴ 碰撞频率公式z?2?d2n?
iRT 2p2?d2?p对于理想气体有p?nkT，即：n?，所以有：z?
kTkTRT8.31?273而??1.60?1.60?455.43 m?s-1
Mmol28氮气在标准状态下的平均碰撞频率
3平动动能 t=3 Et??8.31?300?3739.5J
22转动动能 r=2 Er??8.31?300?2493J
25内能 i=5 Ei??8.31?300?6232.5J
27.24 一瓶氧气，一瓶氢气，等压、等温，氧气体积是氢气的2倍，求⑴氧气和氢气分子数密度之比；⑵氧分子和氢分子的平均速率之比。 解：⑴ 因为p?nkT，则：nOnH?1
⑵ 由平均速率公式??1.60z?2??10?20?455.43?1.013?105?5.44?108s-1
01.38?10?273⑵气压下降后的平均碰撞频率
2??10?20?455.43?1.33?10?4z??0.714 s-1
?231.38?10?2737.27 1mol氧气从初态出发，经过等容升压过程，压强增大为原来的2倍，然后又经过等温膨胀过程，体积增大为原来的2倍，求末态与初态之间⑴气体分子方均根速率之比；⑵ 分子平均自由程之比。 解：⑴ 由气体状态方程：
RT?MmolH1，得：O?? Mmol?HMmolO47-25 一真空管的真空度约为1.38×10-3 Pa(即1.0×10-5 mmHg)，试 求在27℃
时单位体积中的分子数及分子的平均自由程(设分子的有效直径d＝3×10-10 m)。
解：由气体状态方程p?nkT得：
p1p2? 及 p2V2?p3V3 T1T2p11 ?p22p1.38?10?3n???3.33?1017m-3 23kT1.38?10?3001由平均自由程公式??得： 22?dn1???7.5 m ?20172??9?10?3.33?107.26 ⑴ 求氮气在标准状态下的平均碰撞频率；⑵ 若温度不变，气压降到
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RTT?2初方均根速率公式??1.73，得：?1?T2Mmol?2末p⑵ 对于理想气体，p?nkT，即 n?
kT2所以有：??
kT2?d2p，即：
?初T1p2??1 ?末p1T2
第8章 热力学基础
8.11 .如题8.11图所示，一系统由状态a沿acb到达状态b的过程中，有350 J热量传入系统，而系统做功126 J。
⑴ 若沿adb时，系统做功42 J，问有多少热量传入系统? ⑵ 若系统由状态b沿曲线ba返回状态a时，
外界对系统做功为84 J，试问系统是吸热还是p b c 放热?热量传递是多少? 解：由abc过程可求出b态和a态的内能之差：Q??E?A
d a ?E?Q?A?350?126?224J
O 题8.11图 V abd过程，系统作功A?42J
8.13 一个绝热容器中盛有摩尔质量为Mmol，比热容比为γ的理想气体，整个容器以速度?运动，若容器突然停止运动，求气体温度的升高量(设气体分子的机械能全部转变为内能)。 解：整个气体有序运动的能量为增加，温度变化。
1m?2，转变为气体分子无序运动使得内能2?E?m1111CV?T?m?2，?T?Mmol?2?Mmol?2(??1) M22CV2R8.14 0.01m3氮气在温度为300K时，由0.1MPa压缩到10MPa。试分别求氮气经等温及绝热压缩后的⑴ 体积；⑵ 温度；⑶ 各过程对外所做的功。 解：⑴ 等温压缩过程中，T=300K，且p1V1?p2V2，解得：
Q??E?A?224?42?266J 系统吸收热量
ba过程，外界对系统作功A??84J
Q??E?A??224?84??308J 系统放热
8.12 1mol单原子理想气体从300K加热到350K，问在下列两过程中吸收了多少热量?增加了多少内能?对外做了多少功? ?⑴ 容积保持不变； ?⑵ 压力保持不变。 解：⑴ 等体过程对外作功A?0
V2?p1V11??0.01?1?10?3m3 , p210V2p?p1Vln1?0.1?106?0.01?ln0.01??4.67?103J V1p257R，?? 25A?vRTln⑵ 绝热压缩：CV?iR(T2?T1)∴ ， 2 ?32?8.31?(350?300)?623.25JQ??E?A??E??CV(T2?T1)??⑵ 等压过程，吸热：
由绝热方程 p1V1??p2V2?，得：
?pVp1?11111/?V2?()?()V1?()4?0.01?1.93?10?3m3
p2p210??1??1由绝热方程 T1??p1，得 ?T2??p21Q??CP(T2?T1)??i?25R(T2?T1)??8.31?(350?300)?1038.75J 22内能增加：?E??CV(T2?T1)?32?8.31?(350?300)?623.25J 对外作功：A?Q??E?1038.75?623.5?415.5J
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??1T1?p2T2???1?3001.4?(10)0.4p1??T2?579K
由热力学第一定律Q??E?A及Q?0得：A??MCV(T2?T1)， Mmolab过程气体对外作功：A??2V0v0pdV??2V0V0RT0RTdV?0 2V02又pV?MRT，所以 Mmol8.17 某理想气体的过程方程为Vp1/2=a，a为常数，气体从V1膨胀到V2。求其所做的功。 解：气体做功：A?p1V151.013?105?0.015A??R(T2?T1)????(579?300) RT123002 ??2.35?10J8.15 理想气体由初状态(P1，V2)经绝热膨胀至末状态(P2，V2)。试证过程中气体所做的功为：w?3?V2V1pdV??V2V1a2a2V2121dV?(?)|?a(?) V12VVV1V2
8.18 设有一以理想气体为工质的热机循环，如题8.18图所示。试证其循环效率为：?＝??1??解：等体过程：
P1V1?P2V2γ?1?式中γ为气体的比热容比。
V1V2?1
p1p2?1p p1 绝热 p2 O V2
题图8.18
V1 V ?证明： 由绝热方程pV??p1V1??p2V2??C得p?p1V1V2V21 V?Q1??vCV(T2?T1)?0，吸热，
??CV(∴ Q1?Q1p1V2p2V1?) RRA??pdV??V1V1故，
dVC11Cr??(??1???1)V??1V2V1?pV1p1V1?p2V21p2V2 ??(??1?1??)???1V2V11??1?
??0 绝热过程：Q3??vCp(T2?T1)?0，放热 等压压缩过程：Q2b a V V0 2V0
题8.16图
8.16 1 mol的理想气体的T-V图如题8.16图所示，T ab为直线，延长线通过原点O。求ab过程气体T对外做的功。
解：设T?kV，由图可求得直线的斜率k为：
???vCP(T2?T1)?CP(∴ Q2?Q2p2V1p2V2?)，则， RRTTk?0，得过程方程T?0V
2V02V0O 循环效率为：??1?Cp(p2V1?p2V2)Q2(?/??1) ?1??1??12Q1CV(pV(p1/p2?1)12?p2V2)RTRT0RT由状态方程pV?vRT得：p?=V=0
VV2V02V08.19 一卡诺热机在1000K和300K的两热源之间工作，试计算
?⑴ 热机效率；?⑵ 若低温热源不变，要使热机效率提高到80%，则高温热源温度需提高多少??⑶ 若高温热源不变，要使热机效率提高到80%，则低温热源温度需降低多少?
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