到磁场的作用，即dF??Idl?2?B。
由于在3、7位置的磁场最强，且方向与?Idl?2垂直，所以受力最大；而在1、5位置的磁场最弱（为零），故受力为零；由右手螺旋法则可知，在2、3、4位置磁场方向为?，在6、7、8位置磁场方向为⊙，再由安培力公式dF??Idl?2?B可得，3、4位置受力指向圆心，?Idl?2在2、?Idl?2在6、7、8位置受力背向圆心。
5．一根长为L的直导线a和一半径R?L/2的半圆形导线b，它们均通有电流I，并处于磁感强度为B的均匀磁场中，位置如图8-10所示。则它们分别所受安培力的大小为Fa向为 垂直纸面向内 ；Fb[知识点] 安培力公式
[分析与解答] 在直导线a上取电流元Idl，由安培定律知，其受到安培力dFa?IdlB，方向为?，则
LaIdl? IBL ，方
? IBL ，方向为 垂直纸面向外 。
IROb 图8-10
dl?BFa??IdlB?IBL，方向垂直纸面向内。
a 同理，在半圆形导线b上取电流元Idl，其受到安培力
dFb?IdlBsinθ，方向为⊙，则
Fb?IdlBsinθ?b???0，方向垂直纸面向外。 IdlBsinθ??IRBsinθdθ?2RIB?IBL0?
6．如图8-11所示，导线abcd弯成图示形状，通过电流I，置于与均匀磁场B垂直的平面上，选图示Oxy坐标，则此导线受到的安培力为Fabcd? IB(l1?2R)j 。
[知识点] 补直线的方法，闭合回路所受磁场力为零。
[分析与解答] 设想添加da直导线，其电流为I ，方向d→a ，构成闭合回路abcda。 由于垂直于磁场B的闭合回路所受磁场力为零，即 Fab?Fbc?Fcd?Fda?0 而 Fda?OyxbIB?adIdl?B??IB?dlj
daa?l1l2c 图8-11
??IBdaj??IB?l1?2R?j
所以 Fabcd?Fab?Fbc?Fcd??Fda?IB?l1?2R?j
ORdI
7. 一线圈载有电流I，处在均匀磁场B中，线圈形状及磁场方向如图8-12所示，线圈受到磁力矩的大小为M?
52?RIB ；若从O1看向O1′，则线圈将绕O1 O1′轴 逆 时针转动。 2[知识点] 磁力矩M?Pm?B。
[分析与解答] 平面载流线圈的磁矩Pm?ISn，磁矩方向和线圈电流方向成右手螺旋关系，方向指向纸面内。磁矩的大小为
Pm?I?R2?2R2??πR2I
2?2?2线圈在磁场中的磁力矩为
BO22RRO'1 图8-12
?ππ???5O1IO'2 M?Pm?B
大小为 M?Pmsinπ5B?πR2IB 22?指向O1。 方向由O1?轴逆时针转动。 所以，线圈在此磁力矩作用下将绕O1O1
28．一台电流计的线圈面积为S?60cm，共N = 200匝，其中通电流I?10μA，处在B?0.1T的均匀磁场中，则线圈磁矩的大小为Pm? 1.2?10?5 A?m2；其所受的最大磁力矩的大小
1Mmax? 1.2?10?6N?m ；若要使磁力矩M?Mmax，则线圈正法线方向与B应成??
230?或150? 。
[知识点] 磁力矩的计算。
[分析与解答] 线圈的磁矩为 Pm?NIS?200?10?10?60?10磁力矩 M?PBsinθ
最大磁力矩为 Mmax?PB?1.2?10?5?0.1?1.2?10?6N?m
当M??6?4?1.2?10?5A?m2
11Mmax时，PBsin??PB 221π5? 即 ??或 266则 sin??
三、计算与证明题
1．如图8-13所示，磁导率为?1的无限长磁介质圆柱体A，半径为R1，其中均匀通有电流I1，其外有半径为R2的无限长同轴圆柱面C，AC之间充满着磁导率为?2的无限大均匀磁介质，在圆柱面C上通有相
?2I2R2R1AO?1I1C
图8-13
反方向的电流I2。试求该系统磁感强度B的分布。
[分析与解答] 按介质中的安培环路定理，取以O为圆心，r为半径的安培环路L，有
?LH?dl?H?2?r??I
则
H??I ， B???I
2?r2?r所以，当r?R1时，?I?I1?1I1r2??r， B?122?R12?R1?2I12?r
当R1当r
?r?R2时，?I?I1 ，B2?R2时，
??I?I1?I2， B3?I1?I2 2?r 2．如图8-14所示，通有电流I、半径为R的半圆形闭合曲线，共有N匝，放在均匀外磁场B中，B的方向与线圈正法线方向成??60。试求：
（1）线圈的磁矩Pm；
（2）此时线圈所受的磁力矩M；
（3）从该位置转到平衡位置时，磁力矩的功A。
In 图8-14
?RIB?12[分析与解答] （1） Pm?NIS?NIπR
2 方向：与n一致。
（2）由于 M?Pm?B
M?PmBsin60??方向：竖直向上。
133NI?R2B?NIB?R2 224（3）线圈处于平衡位置时，M?0，即??0，n与B同向。
A?I(?m2??m1)?IBN(S2?S1)
=IBN(表明磁力矩作正功。
3. 在电流强度为I0的长直导线产生的磁场中，有一等腰直角三角形线圈，线圈平面与长直导线共面，线圈通过的电流强度为I，如图8-15(a)所示，试求：
（1）通过等腰直角三角形线圈的磁通量；
11212?R??Rcos60?)=NIB?R2 224（2）各边受到的磁场力及整个线圈受到的合力。 [分析与解答]
（1）建立如图所示的坐标系，长直导线电流I0产生的磁场为
yIdSbOADB??0I02πx，方向垂直纸面向里
I0距轴线x处取宽为dx、高为h的面积元dS（绕行方向为顺时针），其面积为
dS?hdx?(x?b)tan450dx
aCx 图8-15（a）
x 面积元dS的磁通量为
?Id?m?B?dS?00(x?b)dx
2?x?m??d?m??b?a?b三角形线圈的磁通量为
?0I0(x?b)dx 2?x?0I0a?b(a?bln) 2?b（2）等腰直角三角形线圈上任意电流元Idl的方向都与长直导线电流I0在该处产生的磁场B垂直。
对于CD边，将其分割为无限个电流元Idl，由于每个电流元所在处磁感强度大小相等，方向一致。由安培力公式可知FCD的大小为
FCD?BIa??0I02π(a?b)Ia??0I0Ia2π(a?b)，方向沿x轴负方向
对于AC边，每个电流元受到的安培力方向相同，但每个电流元所在处的磁感强度大小不同，所以
FAC??a?b?0I02πxbIdx??0I0I2π?a?bbdx?0I0Ia?b?ln，方向沿y轴正向 x2πb对于DA边，每个电流元受安培力方向相同，如图8-15 (b)所示，因而
dF?IdlB
FDA???0I02πxIdl
DIdldF
统一积分变量，由几何关系可知
π?dx?dlcos
4Ab代入FDA公式可得
45° 图8-15 (b)
FDA???0I0I(?dx)π2πxcos4a?b??0I0I22π2?a?bbdx x
?2?0I0Ia?b ln2πbπ?0I0Ia?b?ln，方向沿x轴正向 42πbπ?0I0Ia?b?ln，方向沿y轴负向 42πb把FDA投影到坐标轴上，则
FDAx?FDAcosFDAy?FDAsin
线圈受到的合力为
F??Fxi??Fyj?
?0I0I2π(lna?ba?)i ba?b4．如图8-16所示，两根带电平行长直导线a和b，电荷线密度分别为?a和?b，相距为d，均以速度v沿x轴方向运动。试求：
（1）运动的带电导线形成的电流Ia和Ib；
（2）两导线各自单位长度所受的电场力Fea和Feb； （3）两导线各自单位长度所受的磁场力Fma和Fmb。
Fmv2（4）证明：?2（c为真空中的光速，且c?Fec[分析与解答] （1）Ia??av，Ib??bv
1?0?0）。
（2）两导线单位长度上的电荷在对方处产生的电场强度为
E??
2??0d?a故
Fea??aEb?Feb??bEa??a?b
2??0d?a?b
2??0dvxd?bv 电场力Fea和Feb为斥力。
（3）长直载流导线激发的磁感强度为
图8-16
B??0I 2?d故 Fma?0IaIb?0?a?bv2?0?a?bv2?IaBb??， Fma?IbBa?
2?d2?d2?d磁场力Fma和Fmb为引力。
Fmv22（4） ??0?0v?2
Fec四、简答题
如图8-17所示为3种不同的磁介质的B—H关系曲线，其中虚线代表的是关系B??0H。说明a、b、c各代表哪一类磁介质的B—H关系曲线，为什么？ [答] a代表铁磁质的B—H关系曲线，因为在铁磁质中B与H不成线性关系，?r得多。
b代表顺磁质的B—H关系曲线，因为在顺磁质中B与H成线性关系，?r场略大。
c代表抗磁质B—H关系曲线，因为在抗磁质中B与H成线性关系，?r是常数，抗磁质的磁场比原磁场略小。
OBa??1且不是常数，铁磁质的磁场比原磁场大
bc??0且?r?1，并是常数，顺磁质的磁场比原磁
图8-17
H
??0且?r?1，并