分 数 应 用 题
一、学习内容：学习本学案各例题，独立完成例题后的练习并在老师的指导下完成综合训练。 二、学习目标：
（一）理解单位“1”的含义和在实际问题中的表现形式，能判断问题中的单位“1”的对应数量是
已知的还是未知的，能将各数量准确地与分率相对应；
（二）熟练应用数量关系式：单位“1”的数量×分率（或倍数）=分率（或倍数）的对应数量，已
知其中两者，求其三；
（三）能正确处理“比多”、“比少”的问题，分析思路要清晰； （四）培养解决问题的基本能力：
1、熟悉分数应用题中特有的数学语言； 2、在理解的基础上熟练运用基本运算原则；
3、培养正确的思维习惯（注意审题，具体问题，具体分析，切实理清题意中的数量关系），熟
练运用分析及解题的常用工具（能清晰地用线段图表示题意中地数量关系并用算术式或方程式解题）；
（五）能正确判断复杂分数应用题的题型特征并应用正确的方法解决问题。 三、学习重点：
（一）确定单位“1”，理清数量关系（通过画线段图或列文字等式，熟练后可在大脑中构建数量关
系等式）；
（二）算术式或方程式解题；
（三）正确判断复杂分数应用题的题型特征并应用正确的方法解决问题。 四、学习过程：
（一）从分数的意义谈起，我们可以从两方面理解分数的意义：<前置学习>
1、用分数表示1个单位数量（如1米、1千克、1小时）的几分之几：如1米的（把
211米的长度平均分成2份，取其中1份，也就是
3412米），1千克的（把1千克的质量平均分
43成4份，取其中3份，也就是1÷4×3=千克或1×=
4334千克），1小时的
23（也就是
23小
时），括号中的
12米、
34千克、
23小时是具体数量，有单位。
2、用分数表示单位“1”的几分之几：
（1）单位“1”把一个数量（比如一个班级的学生人数，一本书的总页数，一筐苹果的个数，一堆沙子的重量，一段时间，一杯水的体积，一段路程，一项工程的工作总量等）或1个大于0
1
的具体数字看做一个整体（或者说1个单位），记做单位“1”。例如“一个班级人数的”，此时
61一个班级的人数就是单位“1”。
（2）分数可以表示把单位“1”（或整体“1”）平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数：如一个班级有30名同学，把整个班级的人数看成单位“1”，平均分成6\份\，每\份\就是整个班级的
16，此时的
16不是一个具体数量，而是6\份\中的一\份\，是我们通常所说的“分率”，没
111有单位（整个班级的所对应的数量是单位“1”所对应的数量30人乘以，即：30×=5人）。
666（二） 单位“1”的引申：<探究与引申>请同学思考：单位1只能是“总数量”吗？在一个
实际问题中，单位1只能有1个吗？
例1：
（1）一个班有30名同学，有男生18人，女生12人
①我们可以把全班人数看作单位“1”，如全班人数的等于男生人数（或说成男生占全班人
53数的
353）
30×=18（人）
5②我们同样可以把男生人数看成单位“1”，如男生人数的人数的
232312是：18×=9（人），男生
21相当于女生人数：18×=12（人）；把男生看成单位“1”时，也就是将男生18
523人看作“1”倍，全班人数和男生人数做比较，是男生人数的30÷18==1
3，即全班人数是
男生人数的1
23倍，这和我们以前学过的整数除法表示倍数的意义是一样的，如“一个学习
小组共10人，其中男生有5人，这个学习小组的总人数是男生人数的10÷5=2，这个2就是倍数），女生人数和男生人数做比较，是男生人数的12÷18=这个
2323，即女生人数是男生人数的
2323，
和倍数的实质是一样的，只不过不足一倍，我们把1、
23这样的相对数都可以称作
分率。
③“一个班有30名同学，有男生18人”，全班人数是男生人数的1
323（
53）倍，男生
人数是全班人数的18÷30 =，这体现了单位1的相对性，拿谁做参照谁就是单位“1”，
5跟谁比较谁就是单位“1”，此时的“谁”被看成了一个“单位”，“1”在这里可以理解为“1倍”。在同一个问题中，可以有两个或多个不同的数量看作的单位“1”，此时的两个或多个单位1所代表的数量并不相同，解决问题时，有时需要我们将分率转化为同一个单位“1”
2
的分率才能计算具体数量。
（2）一堆沙子，共重600千克，第一天用去了，也就是用去了600×=200（千克），第
3312311二天用去了“剩下的”
2338（剩下的是600-200=400千克，或剩下的占整堆沙子的1-=
338，
600×=400千克），用去的是400×=150（千克）”，第一次用去的是“600千克”这个单位“1”的
13，第二天用去的是“剩下的400千克”这个单位“1”的
38，此例也体现了单
34位“1”的转化，如果说像“男生有15人，女生有20人，则男生是女生的15÷20=，女生是男生的20÷15=1倍”体现了两个数量间做比较时单位“1”的相互转化（相对性），则
31此例体现了单位“1”从“整体量”到“部分量”的变化。
总结：单位“1”是一个用作参照、比较的“1倍”，其它数量除以单位“1”的量也就是分率（其它数量相当于单位1的几分之几或几倍）。单位1的数量乘以其它数量的分率可以求出其它数量。
（三）较简单的分数应用举例：<例题详解>
1、部分量与整体数量的关系
（1） 发电厂有一堆煤，共重300吨，用去了其中的，用去了多少吨？
53解题思路：解题的关键在于理清数量所对应的分率，线段图和对应关系如下： 单位“1” 300吨 一堆煤
35（用去的占一共的）
3300吨 300×=180吨
5
单位“1” 用去的占单位1的
35
3（2）发电厂原有一堆煤，用去了180吨，相当于总数的，原有煤多少吨？
5<从方程到除法算术式的推导>
（3）发电厂原有300吨煤，用去了180吨，用去的是原有的煤的总数的几分之几？ 以上三个问题对应的三种运算原则：
① ； ② ； ③ 。
3
（4）发电厂有一堆煤，共重300吨，用去了其中的，还剩多少吨？<两种方法解答问题>
53解题思路：线段图和数量关系如下： “1” 一堆煤 3535（用去的占一共的） 1-（剩下的占一共的）
535353533300吨 300×=180吨 300×（1-）=120吨
单位“1” 用去的占单位1的
还剩下的占单位1的（1-）
5（5）发电厂原有一堆煤，用去了其中的，还剩下120吨，原有煤多少吨？
（6）发电厂原有一堆煤，用去了其中的180吨，还剩下120吨，剩下的占原有的煤的几分之几？
2、一个数量和另一个数量相比较<注意数量的变化所引起的分率变化> （1）某班女生人数是35人，男生人数是女生人数的此时男生是女生的几分之几？ （2）某班原来男生人数是女生人数的有多少人？
（3）某班原来男生人数是女生人数的
252525，男生有多少人？后转来1名男生，
，后转来1名男生，此时男生是女生的
37，则女生
，后转来1名男生，此时女生是男生的2倍，则女
31生有多少人？现在的男生有多少人？<注意单位“1”的相对性，“谁”的几分之几，“谁”此时就是单位1，将分率转化为同一个单位“1”的分率从而解决问题> 3、“比多”和“比少”的关系：（间接陈述事物间的数量关系）
（1）某舞蹈班有女生35人，男生15人，男生比女生少几分之几？女生比男生多几分之几？ <比的后面是用作参照的标准数，是单位“1”， 男生比女生少几分之几说的是男生比女生少女生的几分之几，省略了划横线的“女生的”， 女生比男生多几分之几说的是女生比男生多男生的几分之几，此时用（大数—小数）÷ 标准数即可解题> （2）某舞蹈班有女生35人，男生比女生少
35,男生有多少人？
11（3）某舞蹈班有男生15人，女生比男生多1倍，女生有多少人？
33（4）某舞蹈班有女生35人，女生比男生多1倍，男生有多少人？ （5）某舞蹈班有男生15人，男生比女生少,女生有多少人？
5
4
3
（2）—（5）需要同学能判断问题中的单位“1”的对应数量是已知的还是未知的，能将比的关系中各数量准确地与分率相对应；教学中曾有歌诀“读题之时先找比，比后就是单位一。多就加来，少就减。整体若是已知数，你就用乘别怀疑。整体若是未知数，你就用除没问题。”望同学在学习中注重体会和理解间接陈述的特点，而不要死记歌诀。
注：（1）是两个数量间的比较，并不适用此歌诀，无论是求女生比男生多几分之几，还是求男生比女生少几分之几，都是先求出多（或少）的部分——大数 – 小数，再用所得的数除以标准数（都是除法）。另需强调的是要看清比的后面是具体数量还是分率，分率之间的比较和具体数量间的比较要区分开（分率和具体的数量不能相加减！）例如：甲杯中有水30克，乙杯中的水比甲杯多
23克，则乙杯中的水为30+=30
323223克；若甲杯中有水30克，乙杯中的水比甲杯多，则乙杯中
32的水为30×（1+）或30+30×，是50克。
32 (四)自主练习：请根据插图中的鸡和鸭的数量，仿照例题编写不少于10道分数应用题（提示：鸡、鸭和家禽总数之间的数量关系，比多和比少的问题） （五）解决问题的基本能力的培养：<归纳总结>
理清应用题中的基本数量关系，这是同学们在听课及练习中应逐渐培养的。
1、我们来总结一下分数应用题中的数学语言：常用的单位1的叙述方式有以下几种，我们应学会从中判断谁是单位1：
①甲是乙的的
3434，（举例四分之三）； ②甲占乙的
34； ③甲等于乙的； ④甲相当于
43； ⑤乙的
34是甲； ⑥乙的
34等于甲； ⑦乙的
34相当于甲
前四种我们称其为正向叙说，后三种我们称其为反向叙说，都是在直接陈述事物间的数量关系。在以上叙述方式中，谁“的”几分之几，那么“谁”就是用做参照的单位“1” ，解题时的计算方法见例1。
⑧甲比乙多（少）四分之一 ；⑨今年比去年增加了（减少了，节约等）四分之一 这是在间接陈述事物间的数量关系，在“比多”和“比少”。解题时的计算方法见例3。 ⑨较隐晦的一些叙说方式，如：
a.甲超过乙四分之一，即甲比乙多四分之一；
b.某钢厂去年产钢2500万吨，今年增产或减产500吨，即今年比（去年）增产或减产500吨； c.“扩大” 1
34倍，是增加到原来的1
34倍，也就是增加了
34；“扩大”和 “增加到” 1
34倍
5