式中，d0及d2分别为斜射X射线束方向的晶面族(与正X射线照相所得衍射线环同一指数)受力作用前后的晶面间距，而σ?，等于:
???d2?d1E ?2(1?v)sin?d1式中，d1是正X射线束方向的晶面族受应力作用后的晶面间距。 可见，采用两次照相法，精确测定出d1和d2，即可按
???d2?d1E式计算出σ? 。 ?2(1?v)sin?d1
○2X射线衍射仪法
如图2.5(a)所示，根据多晶衍射仪的设计原理，参与衍射的晶面始终平行于试样表面。因此，当衍射仪在正常状态工作时，试样表面法线和衍射晶面法线平行，此时ψ=0°。为了测出不同ψ值时同一{HKL}面族的2θ值，在X射线管和探测器位置不变的情况下，让试
样表面法线转动ψ角。但此时位于测角仪上的探测器己经不在聚焦圆上，如图2.5(b)所示。因此必须将探测器沿衍射线移动距离D，可以证明：
R?=R-D=Rcos[??(90???)]cos[??(90???)] 式中，R’为探测器移动后离试样表面的距离。测定时，常使ψ=0°和ψ=45°，即应用固定班法进行宏观残余测定。
○3X射线应力仪法
X射线应力仪的核心部分为测角仪，其上装有可绕试样转动的X射线管和探测器。通过改变ψ使X射线管转动，以改变入射线的方向。目前，广泛使用的测角仪有两种，即Ω测角仪和ψ测角仪，其衍射几何分别见图2.6(a)、(b)。
(1)
Ω测角仪(常规法)
Sin2ψ尹法是常规法中的经典方法，从???K1M可以看出，只要测出M即可计算出应力。为此，当以不同的角度ψ入射时，测出相应的2θ，此时ψ与2θ共面。用测定的2θ与sin2ψ作图，两者应有图2.7所示的线性关系。求出直线的斜率M后，乘以已知的应力常数K1，就能求出指定方向的应力σ?。应该注意，ψ角所在的平面与试样表面的交线，就是所测应力的方向。常选ψ角为0°、15°、30°和45°，相应测出的2θ并非刚好位于一条直线上，此时可用最小二乘法进行数据处理。
如果在选择ψ角时只取0°和45°，就得到0°- 45°法。此时
???K12?45?2?0sin2(45???)?sin2(0???)K??2?1(2?0?2?45) 2sin(45??)?sin??K2?2?式中，K2??K1，?2??2?0?2?45。且K2为正值，2?2sin(45??)?sin?故当Δ2θ为正值时，σ?为正，即为拉应力；当Δ2θ为负值时，σ?为
负，即为压应力。
(2) ψ测角仪(侧倾法)
ψ测角仪与Ω测角仪有很大不同，从图2.6(a)、(b)可以看出，在Ω测角仪中，ψ和2θ角位于同一平面内，即试样表面法线、衍射晶面法线、入射线、衍射线和待测应力方向五者共面，而在ψ测角仪中，ψ和2θ角分别位于互相垂直的两平面内，此时试样表面法线、衍射晶面法线、待测应力方向三者共面，而入射线、衍射线和衍射晶面法线则位于另一平面。因此，为了测定ON方向的应力，必须测定法线位于NOZ平面内的晶面的2θ，此时入射线和衍射线都与OL成(90°-θ)
角。为了在不同ψ角进行测定，应倾转T轴，即X射线管和探测器同步侧倾，应力计算公式仍为???K1M。与Ω测角仪相比，ψ测角仪弥补了Ω测角仪在较大入射角度上探测不到衍射信息的缺点，可以在较大的倾角ψ下进行测量，因此适合于测定工件特殊部位(如齿轮根部、角焊缝处)的残余应力。
以上分析表明，X射线残余应力常规测定方法仅适用于平面应力状态，只有在X射线穿透深度很小的情况下适用，即因为穿透深度很浅，层内的应力沿深度均匀分布。因该层处于自由表面上，其法线方向上的正应力为零，与表面平行的剪应力也为零。在这种情况下，εψ?-sin2ψ呈线性关系。但在实际测试中，常出现非线性现象，且应力值也难以计算，这说明常规X射线应力测试的一些基本假设条件已不满足。
二十世纪七十年代初，人们发现在X射线有效穿透深度内存在较大应力梯度时，在+ψ或-ψ方向εψ? -sin2ψ树呈分裂形状。作为权宜之计的解决方法是采用高ψ部分进行线性拟合。七十年代末，Dolle等指出，由于应力梯度效应，须在三维应力状态下重新建立应力-应变关系。
2.2三维残余应力
事实上，材料或其制品内部存在的残余应力在更多情况下是三维应力状态，且沿深度为连续分布。因此，如何测定残余应力及其沿深