大学物理下册重点习题
积极备考 诚信考试 杜绝一切作弊行为 树立良好校风学风 令七127
11-5．带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度 为???sin?，式中?0为一常数，?为半径R与x轴 所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度。
0解：如图，
dE??dl4??0R2??0sin?d?4??0R，
?0??dEx?dEcos????dEy?dEsin?考虑到对称性，有：Ex；
04??0R4??0R028?0R， ∴
方向沿y轴负向。
11-9．在半径为R的“无限长”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求圆柱体内、外的场强分布，并作E~r关系曲线。
E??dEy??dEsin?????0sin?d?2??0??(1?cos2?)d???0解：由高斯定律长为l的高斯面。 （1）当r?R时，（2）当r?R时，
???S??1E?dS??0?qS内i，考虑以圆柱体轴为中轴，半径为r，
E?2?rl?E???rl?02?r2?0，有
2；
?R22?rl?E???Rl?0，则：
E?2?0r?；R 2?0E；
11-15．图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为?，球壳内表面
半径为R1，外表面半径为R2．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。
解：当r?R1时，因高斯面内不包围电荷，有：E1?0，
?43??r?2?(r?R)?0E??2??R(r?R)?2?0r?即：
oRr?(r?R1)4??0r233当
R1?r?R2时，有：
4333E2???(r?R1)3?0r233，
??(R2?R1)4??0r2当r?R2时，有：
R2R1E3???(R2?R1)3?0r233，
33以无穷远处为电势零点，有：
U????E2?dr???R2??E3?dr??R2R1?(r?R1)3?0r233dr????(R2?R1)3?0r2R2dr??2?0(R2?R1)22。
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12-2．若将27个具有相同半径并带相同电荷的球状小水滴聚集成一个球状的大水滴，此大水滴的电势将为小水滴电势的多少倍？(设电荷分布在水滴表面上，水滴聚集时总电荷无损失．)
解：设小水滴半径为r、电荷q；大水滴半径为R、电荷为Q＝27 q．27个小水滴聚成大水滴，其体积相等
3 3
27 × ( 4 / 3) ???r＝ (4 / 3) ??R
得 R = 3r 小水滴电势 大水滴电势 U?U0 = q / (4??0r)
Q?27q4??0?3r??9q4??0r?9U0
4??0R答案：9倍。
12-10．半径分别为a和b的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q，求：
（1）每个求上分配到的电荷是多少？（2）按电容定义式，计算此系统的电容。 解：（1）首先考虑a和b的两个金属球为孤立导体，由于有细导线相连，两球电势相等：qaqbQa?┄①，再由系统电荷为Q，有：qa?qb?Q┄②两式联立得：qa?，
a?b4??0ra4??0rbqb?Qb； a?b（2）根据电容的定义：C?Q?UQqa4??0a（或C?Q?UQqb4??0b），将（1）结论代入，有：
C?4??0(a?b)。
d13-3．面积为S的平行板电容器，两板间距为d，求：（1）插入厚度为3，相对介电常数
d为?r的电介质，其电容量变为原来的多少倍？（2）插入厚度为3的导电板，其电容量又变
为原来的多少倍？
?E0?解：（1）电介质外的场强为：
Er??0，
d3??0?r，
?2??r而电介质内的场强为：
?03所以，两板间电势差为：
3?0?rSQ?SC?U?d???0?r?d3，
C那么，
U?U?(2?r?1)d，而
C0??0Sd，∴C0?3?r2?r?1；
d（2）插入厚度为3的导电板，可看成是两个电容的串联，
?S3?0SC1?C2?0?d/3d， 有：C?C1C2C1?C2?3?0S2d?32C0C?C0d3d3?32。
2
∴
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14-3．无限长细导线弯成如图所示的形状，其中c部分是在xoy 平面内半径为R的半圆，试求通以电流I时O点的磁感应强度。
??解：∵a段对O点的磁感应强度可用??SB?dl??0?I求得，
??I?有：Ba?，∴Ba??0j
4?R4?R?0Ib段的延长线过O点，Bb?0，
?c段产生的磁感应强度为：Bc??0I?Bc?k
4R?0I4?R????0I4R，∴
则：O点的总场强：BO
???0I?4?Rj+?0I?4Rk，方向如图。
14-8．一橡皮传输带以速度v匀速向右运动，如图所示，橡皮带上均匀带有电荷，电荷面密度为?。
（1）求像皮带中部上方靠近表面一点处的磁
?感应强度B的大小；
??（2）证明对非相对论情形，运动电荷的速度v及它所产生的磁场B和
?电场E?1??之间满足下述关系：B?2v?Ec（式中c?1?0?0）。
解：（1）如图，垂直于电荷运动方向作一个闭合回路abcda，考虑到
橡皮带上等效电流密度为：i??v，橡皮带上方的磁场方向水平向外，橡皮带下方的磁场方向水平向里，根据安培环路定理有：
????abcdB?dl??0Li?B?2L??L?v，
0∴磁感应强度B的大小：B?（2）非相对论情形下：
??0?v2；
，
Ladbc?????0qv?r匀速运动的点电荷产生的磁场为：B??24?r?1q??， ?2r点电荷产生的电场为：E?4??0r?????0qv?r1??1q???v?E???v??r???B∴2， 0022c4??0r4?r即为结论：B?
?1??v?E2c（式中c?1?0?0）。
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14-16．有一个U形导线，质量为m，两端浸没在水银槽中， 导线水平部分的长度为l，处在磁感应强度大小为B的均匀 磁场中，如图所示。当接通电源时，U导线就会从水银槽中 跳起来。假定电流脉冲的时间与导线上升时间相比可忽略， 试由导线跳起所达到的高度h计算电流脉冲的电荷量q。 解：接通电流时有F?BIl?mdvdt?BIl，而I?v0dqdt，
则：mdv?Bldq，积分有：q?又由机械能守恒：
12mv2?mBldv?mvBl；
mvBl?mBl2gh。
?mgh，有：v?2gh，∴q?15-1．一圆柱形无限长导体，磁导率为?，半径为R，通有沿轴线方向的均匀电流I，求： （1）导体内任一点的H、B和M；（2）导体外任一点的H、B。
I解：如图，面电流密度为：i?。 2?R??2H?dl?I2?r?H??ri， （1）当r?R时，利用：?，有：?1?lR∴导体内任一点的磁场强度H1?Ir2?R2，
I?再由B??H，有导体内任一点的磁感应强度：B1?利用公式M?B?H，有磁化强度：M??Ir2?R22，
?Ir2?R21?Ir?0（2）当r?R时，利用：??l??H?dl?I?02?R?Ir2?R2(??0?1)；
?I有：
，磁感应强度：B2??0I2?r导体外任一点的磁场强度：H2?2?r。
15-5．图a为铁氧体材料的B?H磁滞曲线，图b为此材料制成的计算机存贮元件的环形磁
500芯。磁芯的内、外半径分别为0.5mm和0.8mm，矫顽力为HC?A/m。设磁芯的磁
?化方向如图b所示，欲使磁芯的磁化方向翻转，试问：
（1）轴向电流如何加？至少加至多大时，磁芯中磁化方向开始翻转？
（2）若加脉冲电流，则脉冲峰值至少多大时，磁芯中从内而外的磁化方向全部翻转？
??解：（1）利用介质磁场的安培环路定理：??H?dl??I，有Hc?2?r内?imax，
l∴imax?2?r内Hc?2??0.5?10?3?500??0.5A；
?3（2）同理：imax?2?r外Hc?2??0.8?10?500??0.8A。
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16-3．电流为I的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为120?，
?几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度v平行于长直 A?B导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。
解：从圆心处引一条半径线，与水平负向夹角为?，那么，
B?O?0I2?x??0I2?(2R?Rcos?)??0I2?R(2?cos?)2?，再由?????有： (v?B)?dl?d??B?Rd??vsin?，∴????30?0I2?R(2?cos?)?Rvsin?d????0Iv2?ln52。
16-13．如图，半径分别为b和a的两圆形线圈（b>>a），在t?0时共
面放置，大圆形线圈通有稳恒电流I，小圆形线圈以角速度?绕竖直轴转动，若小圆形线圈的电阻为R，求：（1）当小线圈转过90时，小线圈所受的磁力矩的大小；
（2）从初始时刻转到该位置的过程中，磁力矩所做功的大小。 解：利用毕—萨定律，知大线圈在圆心O处产生的磁感应强度为：
?B??0I2b，由于b>>a，可将小圆形线圈所在处看成是
?0I2b匀强磁场， 磁感应强度即为B?圈的磁通量：
??B?S?，所以，任一时间穿过小线
?0I2b??acos?t，
2小线圈的感应电流：i??小线圈的磁矩：pm????B（1）由M?pm1d?Rdt???0I??a22b?Rsin?t2，
?iSa?(?0I??a22bRsin?t)??a，
??2，有：M?0I??a4bR22224?pm?Bsin?t??0I4b222?a4Rsin?t2
当?t??2时：M?d??20?；
（2）A??M?
2?0I??a4bR22224?sin?td?t??0I??a4bR22224??201?cos2?t2d?t??0I??a16Rb22234。
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