因为三角函数可以看为圆周运动的一种投影，所以，在复数域，三角函数和乘法运算(指数)被统一了。我们从实数域的傅立叶级数展开入手，立刻可以得到形式更简单的，复数域的，和实数域一一对应的傅立叶复数级数。因为复数域形式简单，所以研究起来方便----虽然自然界不存在复数，但是由于和实数域的级数一一对应，我们做个反映射就能得到有物理意义的结果。欧拉公式(e^ix=cosx+isinx)是怎么证明的，有什么物理或者几何的意义吗? 高等数学和数学分析用泰勒级数的办法来证明这个公式，把cosx,sinx和e^x都展开，得到他们之间的一个等价关系。但是这个证明是不严格不完备的，因为(1)相等是观察的结果而不是计算的结果(2)因为泰勒公式还包含了拉格朗日余项，因此也不是严格的相等而是极限看上去式子应该相等而已。怎么证明? 我令M=cosx+isinx，求导，M'=-sinx+icosx=i*M，微分方程M'-i*M=0，对应的特征方程是入-i=0，入=i，所以方程通解是Ce^ix。令x=0我们得到C=1，欧拉公式得证。
这个公式的有什么必然的几何意义吗? 为什么看上去奇怪的e^ix竟然是单位长度的复数? 我们看到,
sinx'=cosx=sin(x+Pi/2)，cosx'=-sinx=cos(x+Pi/2)，也就是sinx/cosx都和自己的导数存在一个Pi /2的夹角，并且sinx/cosx本身夹角Pi/2，于是我们把这种一维积分的正交关系画到2维复平面上面，也就是单位向量sinx+icosx在沿着单位原旋转的时候，向量的导数(切线方向)正好是和向量本身垂直的(Pi/2的夹角)。而符合这种夹角的复数函数只有e^ix=i*e^ix这唯一的一个。所以从几何意义上，e^ix就是代表了单位向量cosx+isinx，唯一性的同构。 ----------------------------------------
复利叶级数每一个频率点都是cos和sin的求和，那么我可以作一个映射，映射到复数域的(cosx,isinx)，那么很容易写出复数范围的复利叶级数结果，每一个an,bn现在变成了cn，an和bn是区间积分的结果，周期T角速度w，积分函数sin(nwt)/cos(nwt)，t的积分区间 [0,2Pi/w]，所以cn就是对e^inwt做n圈圆周积分的结果(对曲线做矢量积分)，这个积分矢量的分量，就是an和bn的值----同频，角度正交。复利叶级数就是由c1-cn这些系数的频率级数构成的。当T->无穷大的时候，c1-cn的频率间隔变得无穷小，复利叶级数就变成了复利叶变换，频率的值变成了频谱密度的值。复利叶变换的图形画出来，就是复利叶级数的那些常熟项靠拢以后的图。再乘以e^inwt做积分，就是复利叶反变换 -----其实就是说复利叶反变换就是复利
叶级数和，反变换的被积分项就是各个频率的系数。从这个角度来看，一回事。当然，复数的展开和实数的展开之间并不相等，它们之间一一对应，频率分量的模相等，所以我们可以研究复数傅立叶级数。注意，Cn的通项公式里面有一个'-'号，这个是复数积分造成的(正交分解和积分两次，相当于方向变化i*i=-1)。Cn求出来的结果包括两部分，幅度和相位----相位仍然由e^ikx这样的形式表示。
变一个角度,f(nw)是傅立叶级数的通向公式，令W=nw，w无限小，那么F(W)就是傅立叶变换，先把W看成常数(nw当中的n看为常数)，积分的过程去掉了t，剩下W。然后把W看为变量，画出图形(w=w0时F(w)的1范数，也就是该频率密度上的幅度)。由于sinx和cosx包含了e^ix和 e^-ix，所有W的定义区间是-无穷到+无穷：所谓的负数的复频率，其实就是共轭的旋转方向而已，表示方向而不是标量意义的负数。傅立叶变换的结果是正负对称的，表示是的频率的分布情况: 频谱密度。虽然正负两边相加才是完整的积分能量，当然考虑频率特性的时候可以只看+x半轴的分量。
有什么应用吗? 例如求一个线性系统的0状态响应(冲击响应)，以前是把h(t),Del(t)代入微分方程然后求解微分方程----求解的过程很麻烦，要用到特征方程，求通解和特解。这太麻烦了。现在有了傅立叶变换，由于微分和积分都可以变成相应的线性表达，方程两边取傅立叶变换，那么微分和积分的过程就被省去了，变成了非常简单的线性运算。例如一个LTI系统的动态方程是y''+3y'+2y=f，两边去F变换得到( (jw)^2+3jw+1 )Y(jw)=F(jw),因此H(jw)=Y(jw)/F(jw)=1/( (jw)^2+3jw+1 )，做个反变换就是h(t)了。
再如，一个RC电路，电源U(1V)，电阻R，电容C，电源接通瞬间，系统的冲击响应是多少? 易知，由基尔霍夫电压定律可以得到Ri+y(t)=f(t)，而i=C(dy/dt)，所以得到RCy'+y=f(t)，两边取傅立叶变换，H(jw)=Y(jw)/F(jw)=1/RCjw+1= (1/RC)/(jw+(1/RC))，反变换得到h(t)=(1/RC)e^-(1/RC)w*u(t)。傅立叶变换把微分方程变成了常数方程来求解，这是个通用的积分变换。
还有一个问题，已知系统函数，但是输入信号是无限长的周期信号，怎么求冲击响应? 傅立叶级数的复数形式，把其中的e^jnwt变成Re(H(jw)*e^jnwt)就可以了。当然傅立叶变换的限制条件使得它有局限性，因此有了推广的拉普拉斯变换。H(jw)里面包含的e^x元素，在频率域是相移，变回时域就是时移。
那么傅立叶变换，那个令人难以理解的转换公式是什么含义呢? 我们可以看一下它和复数域傅立叶级数的关系。什么是微积分，就是先微分，再积分，傅立叶级数已经作了无限微分了，对应无数个离散的频率分量冲击信号的和。傅立叶变换要解决非周期信号的分析问题，想象这个非周期信号也是一个周期信号: 只是周期为无穷大，各频率分量无穷小而已(否则积分的结果就是无穷)。那么我们看到傅立叶级数，每个分量常数的求解过程，积分的区间就是从T变成了正负无穷大。而由于每个频率分量的常数无穷小，那么让每个分量都去除以f，就得到有值的数----所以周期函数的傅立叶变换对应一堆脉冲函数。同理，各个频率分量之间无限的接近，因为f很小，级数中的f，2f，3f之间几乎是挨着的，最后挨到了一起，和卷积一样，这个复数频率空间的级数求和最终可以变成一个积分式：傅立叶级数变成了傅立叶变换。注意有个概念的变化：离散的频率，每个频率都有一个\权\值，而连续的F域，每个频率的加权值都是无穷小(面积=0)，只有一个频率范围内的\频谱\才对应一定的能量积分。频率点变成了频谱的线。
----------------------------------------
因此傅立叶变换求出来的是一个通常是一个连续函数，是复数频率域上面的可以画出图像的东西? 那个根号2Pai又是什么? 它只是为了保证正变换反变换回来以后，信号不变。我们可以让正变换除以2，让反变换除以Pi，怎么都行。慢点，怎么有\负数\的部分，还是那句话，是数轴的方向对应复数轴的旋转，或者对应三角函数的相位分量，这样说就很好理解了。有什么好处? 我们忽略相位，只研究\振幅\因素，就能看到实数频率域内的频率特性了。
我们从实数(三角函数分解)->复数(e和Pi)->复数变换(F)->复数反变换(F-1)->复数(取幅度分量)->实数，看起来很复杂，但是这个工具使得，单从实数域无法解决的频率分析问题，变得可以解决了。两者之间的关系是: 傅立叶级数中的频率幅度分量是a1-an,b1-bn，这些离散的数表示频率特性，每个数都是积分的结果。而傅立叶变换的结果是一个连续函数: 对于f域每个取值点a1-aN(N=无穷)，它的值都是原始的时域函数和一个三角函数(表示成了复数)积分的结果----这个求解和级数的表示形式是一样的。不过是把N个离散的积分式子统一为了一个通用的，连续的积分式子。 ----------------------------------------
复频域，大家都说画不出来，但是我来画一下！因为不是一个图能够表示清楚的。我用纯中文来说:
1. 画一个x,y轴组成的平面，以原点为中心画一个圆(r=1)。再画一条竖直线: (直线方程x=2)，把它看成是一块挡板。 2. 想象，有一个原子，从(1,0)点出发，沿着这个圆作逆时针匀速圆周运动。想象太阳光从x轴的复数方向射向x轴的正数方向，
那么这个原子运动在挡板(x=2)上面的投影，就是一个简协震动。
3. 再修改一下，x=2对应的不是一个挡板，而是一个打印机的出纸口，那么，原子运动的过程就在白纸上画下了一条连续的sin(t)曲线!
上面3条说明了什么呢? 三角函数和圆周运动是一一对应的。如果我想要sin(t+x)，或者cos(t)这种形式，我只需要让原子的起始位置改变一下就可以了：也就是级坐标的向量，半径不变，相位改变。
傅立叶级数的实数展开形式，每一个频率分量都表示为AnCos(nt)+BnSin(nt)，我们可以证明，这个式子可以变成sqr(An^2+Bn^2)sin(nt+x)这样的单个三角函数形式，那么：实数值对(An,Bn)，就对应了二维平面上面的一个点，相位x对应这个点的相位。实数和复数之间的一一对应关系便建立起来了，因此实数频率唯一对应某个复数频率，我们就可以用复数来方便的研究实数的运算：把三角运算变成指数和乘法加法运算。t的直线被映射成了e^jwt的圆周。复数的解析函数具有一个非常好的特性: 映射的保角和保行，如右边两图所示，所以t域的特性可以放到F域讨论。
----------------------------------------
但是，F变换仍然是有限制的(输入函数的表示必须满足狄义赫立条件等)，为了更广泛的使用\域\变换的思想来表示一种\广义\的频率信息，我们就发明出了拉普拉斯变换，它的连续形式对应F变换，离散形式就成了Z变换。离散信号呢? 离散周期函数的F级数，项数有限，离散非周期函数(看为周期延拓以后仍然是离散周期函数)，离散F级数，仍然项数有限。离散的F变换，很容易理解----连续信号通过一个周期采样滤波器，也就是频率域和一堆脉冲相乘。时域取样对应频域周期延拓。为什么? 反过来容易理解了，时域的周期延拓对应频率域的一堆脉冲。
两者的区别：FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对[f(t)exp(-jwt)]积分 LT[f(t)]=从零到正无穷对[f(t)exp(-st)]积分 (由于实际应用，通常只做单边Laplace变换，即积分从零开始) 具体地，在Fourier积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数； 而在laplace变换中，所乘因子为exp(-st)，其中s为一复数：s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法作Fourier变换的函数（比如exp(at),a>0）做域变换。既然傅立叶变换有限制条件的约束，于是拉普拉斯大笔一挥：把那个限制给条件干掉不就无敌了么。如果一个因果函数f(x)(x>0)不可积，那么，给它一个想象的阻尼，变成f(x)*e^(-dx)衰减，这回总是可积的了。同时，e^(-dx)是个实函数，没有虚部，放在复平面上也就是没有旋转的频率，所有得到的复频率性质不会改变。于是原函数，相函数便构成了一对拉普拉斯变换。这一点简直体现了拉普拉斯这位法国人的政治才能，灵活，多变。
对于f(x)有x<0的部分呢? 也很简单，改变一下阻尼的写法，仍然让它可积就行了----总之，不会改变频率的信息。当然，反过来，逆拉式变换对于非因果的输入，可能有超过一种解。这只是数学的讨论，应用的时候，我们只考虑单边拉式变换就行了。作为特殊考虑，d=0的情形，就是傅立叶变换，拉式变换复平面的虚轴----虚轴代表频率信息，d的存在只是移动了实轴的交点，也就是幅度和能量收敛。
一个集总参数电路，不是线性的，怎么解? 线性的微分/积分方程列出来，两边同取拉式变换，方程的形式不会改变，也就
是把电路元件都可以等效成拉式变化后的拉式电路元件，现在就可以用一元方程组来求解了。拉式变换就是一个积分变换的工具，可以用于解方程，可以用于求解电路，可以用于信号的频率分析，等等。所谓的频率，不是客观的存在，只是一种线性时不变的数学属性。那些0点极点的分析，来自复变函数，留数定理。
(1)瞬态响应和稳态响应: 系统接收一个输入，如果全响应是f(t)，那么t=0时是瞬态响应，t=无穷是稳态响应 (2)把系统全响应的微分方程列出来，其次通解是自然响应，特解是受迫响应。
(3)0输入响应: 系统没有输入，从初始状态来的响应。0状态响应: 没有状态只有一个输入时的响应。自然响应包括0输入响应和一部分0状态响应。
----------------------------------------
而Z变换，简单地说，就是离散信号(也可以叫做序列)的Laplace变换，可由抽样信号的Laplace变换导出。ZT[f(n)]=从n为负无穷到正无穷对[f(n)Z^(-n)]求和。Z域的物理意义: 由于值被离散了，所以输入输出的过程和花费的物理时间已经没有了必然的关系(t只对连续信号有意义)，所以频域的考察变得及其简单起来，我们把(1,-1,1,-1,1,-1)这样的基本序列看成是数字频率最高的序列，他的数字频率是1Hz(数字角频率2Pi)，其他的数字序列频率都是N分之1Hz，频率分解的结果就是0-2Pi角频率当中的若干个值的集合，也是一堆离散的数。由于时频都是离散的，所以在做变换的时候，不需要写出冲击函数的因子 离散傅立叶变换到快速傅立叶变换----由于离散傅立叶变换的次数是O(N^2)，于是我们考虑把离散序列分解成两两一组进行离散傅立叶变换，变换的计算复杂度就下降到了O(NlogN)，再把计算的结果累加O(N)，这就大大降低了计算复杂度。 再说一个高级话题: 小波。在实际的工程应用中，前面所说的这些变换大部分都已经被小波变换代替了。
什么是小波？先说什么是波：傅立叶级数里面的分量，sin/cos函数就是波，sin(t)/cos(t)经过幅度的放缩和频率的收紧，变成了一系列的波的求和，一致收敛于原始函数。注意傅立叶级数求和的收敛性是对于整个数轴而言的，严格的。不过前面我们说了，实际应用FFT的时候，我们只需要关注部分信号的傅立叶变换然后求出一个整体和就可以了，那么对于函数的部分分量，我们只需要保证这个用来充当砖块的\波函数\，在某个区间(用窗函数来滤波)内符合那几个可积分和收敛的定义就可以了，因此傅立叶变换的\波\因子，就可以不使用三角函数，而是使用一系列从某些基本函数构造出来的函数族，只要这个基本函数符合那些收敛和正交的条件就可以了。怎么构造这样的基本函数呢？sin(t)被加了方形窗以后，映射到频域是一堆无穷的散列脉冲，所以不能再用三角函数了。我们要得到频率域收敛性好的函数族，能覆盖频率域的低端部分。说的远一点，如果是取数字信号的小波变换，那么基础小波要保证数字角频率是最大的2Pi。利用小波进行离频谱分析的方法，不是像傅立叶级数那样求出所有的频率分量，也不是向傅立叶变换那样看频谱特性，而是做某种滤波，看看在某种数字角频率的波峰值大概是多少。可以根据实际需要得到如干个数字序列。
----------------------------------------
我们采用(0,f),(f,2f),(2f,4f)这样的倍频关系来考察函数族的频率特性，那么对应的时间波形就是倍数扩展(且包含调制---所以才有频谱搬移)的一系列函数族。频域是窗函数的基本函数，时域就是钟形函数。当然其他类型的小波，虽然频率域不是窗函数，但是仍然可用：因为小波积分求出来的变换，是一个值，例如(0,f)里包含的总能量值，(f,2f)里面包含的总能量值。所以即使频域的分割不是用长方形而是其他的图形，对于结果来说影响不大。同时，这个频率域的值，它的分辨率密度和时域小波基函数的时间分辨率是冲突的(时域紧频域宽，时域宽频域紧)，所以设计的时候受到海森堡测不准原理的制约。Jpeg2000压缩就是小波：因为时频都是局部的，变换结果是数值点而不是向量，所以，计算复杂度从FFT的O(NlgN)下降到了O(N)，性能非常好。 用中文说了这么多，基本的思想已经表达清楚了，为了\研究方便\，从实数傅立叶级数展开，到创造了复数域的傅立叶级数展开，再到傅立叶变换，再扩展到拉式变换，再为了时频都离散的情况简化为Z变换，全部都用一根主线联系起来了。 ---------------------------------------------------------------------------
漫谈 信号与系统 入门第五课 傅立叶变换的几何解释
显然，欧拉公式f(t)=e^it=cos(t)+isin(t)是个难以理解的东西。不借助代数的泰勒公式，有没有几何解释? 有，<
(http://download.csdn.net/source/1536209)。令t=0代表时间，我们有f(0)=e^it=1，然后f'(t)=i*f(t)，什么含义呢? 就是无论何时，这个以时间为参数的函数，它的运动速度轨迹都是和位置垂直的。由于|V|=|R|=1，要绕完一个单位圆，需要的时间就是2Pi。于是t取0-2Pi的时间之内，当我们经过了角 度Theta的时候，花费的时间也恰好是Theta(T)，于是写成了位置参量就是e^iT=cosT+i*sinT。如下图所示
换个角度，能否解释特勒展开欧拉公式的数学意义? 可以，我们从三角函数的特性来看,Cos'=-Sin,Sin'=Cos,因此|df/dT|'=(C^2+S^2)'=2(CC'+SS')=0，说明什么呢? 矢量长度的2次导数=0，也就是矢量的长度是定值，它的模恒等于e^0=1。一个应用就是如果要计算CosNT,SinNT这样的命题，就通过欧拉公式两边展开来计算。复数用于几何证明的例子这里就不多说了。
傅立叶级数首先可以推到复数形式。因为复数包含实数，所以从实数到复数的映射是唯一的。
实数的三角函数表示相位叠加要用两个量，cos(nw)+sin(nw)，看起来太麻烦，三角函数也难以计算，写成复数只需要一个量，e^jnw，正交分解的结果就是cos和sin----把复数形式的傅立叶级数分解为实部和虚部，再相加就是实数范围内的傅立叶级数。
实数域的频率是一些列三角函数序列，紧窄不同而已，从低频逐渐收紧。复数域的分解是一系列的向量，投影向量(e^jnw)旋转角度成某种比例。由于e^jnw沿着圆周的路径积分总是0，投影向量的矢量相乘仍然是e^jnw的形式，所以e^jnw是[0,2Pi]范围内的一组积分正交基(连续的，基于积分的正交基，满足周期之内积分=0的性质，概念上和离散的正交基不同)。 怎么理解傅立叶变换的逻辑意义？为什么积分式里面是自己，再积分又回来了？举个例子，我=我的上身+我的下身=我的头+我的鼻子+手+脚=......无限的分解，就是傅立叶级数----级数当中的每个项都是自己的一部分的性质，每个项的系数，化成图形，当分解到无穷的时候连起来就是傅立叶变换，也就是傅立叶变换代表了傅立叶级数的所有常数项，只是因为频率间隔无穷小，离散的图形变成了连续的图形 。那么反变换就相当于频率分量的系数*频率分量本身，再做的累加和，所以就得到了原函数。
我=我的正交分解的所有量相加(积分)，其中我的正交分解的每一项等于我在某个正交基投影。线性代数当中的函数向量点乘，成了连续函数的时候就是函数乘积的积分。这里用线性代数的概念推导到连续的高等数学的概念，向量乘法对应了函数积分，它们互相等价。把积分看成累加，就仍然是一个傅立叶级数展开的形式。由于级数展开的频率w是从0->无穷，所以换到积分里面的话就是积分限制从0->无穷。离散的频率间隔n变成了连续的频谱分布x，对x积
分的结果是一个w的函数：F(w)=S(f(t)e^jwt)dt。
这个F(w)有什么几何意义吗？显然，傅立叶变换的积分式是一个沿着|z|=1单位圆的，对于f(t)e^(jwt)的圆周积分。很显然，如果f(t)是个常数(支流电平)，那么这个积分就是0，说明频率=0。S(f(t)e^jwt)dt，把w看成常数，这个复平面的实轴是t！那么这个积分就是对弧长arc(t)的圆周曲线积分。对于每一个w点，都会有一个积分的值F，再把w看成变量，把无穷个值对(w,F)画出来就是F(w)的形状。
因此，傅立叶变换的几何物理意义就是f(t)某个w点做一圈乘积旋转(对e^jwt做积分就是正交分解)，得到多大的w分量当然，因为正交分量是数量是无穷多，每个分量的投影无穷小，所以把复数域的w投影的\分布密度\画出来(密度当然是实数不是虚数了)就是这个傅立叶变换的图案了，复频域就是连续的实频域！！！引申的，为了保证可积性，拉普拉斯引入了一个衰减因子，然后就能得到拉氏变换/反变换了。如果不可积，那么不可导点的s域复频率可以由复变函数的留数定理得到，理论上完整了。在复变函数的域内，所有的线性问题都可以被映射成为圆周问题。
结论1. 由傅立叶变换和拉普拉斯变换的性质，我们可以得到纯微分方程的求解方法。由e^iw表示的复数，导数等于自己乘以一个常数，两边消元了就是某种微分方程----可以用来解决高频震荡电路的问题。那么离散的差分方程呢? 其实就是s变换的简化形势，复数的辐角取了正负Pi，放在实数轴上考虑，F/S变换的时间移动特性变成了差分的特性，z域的所有性质都可以从F/S域经过简单的推导得到。
结论2. 画一个图来表示傅立叶变换的积分过程。这个复数积分是一个在单位圆上面旋转的矢量积分。左图是一个常数作F变换，可以看到矢量积分=0，也就是常数信号的复频率=0。右图是sin信号对于一个周期内的积分，可以靠到积分是一个实部为0的纯虚数，所以虚部=(e^jw-e^(-jw))/2i，所以复频率正负1。图虽然粗糙但是能说明问题。复数形式的正确性在于，实数积分的cos和sin相互正交，那么(cos+sin)和(cos-sin)之间也构成相互正交的关系。复数形式的傅立叶级数的求和范围是exp的负无穷(cos[w]-sin[w])=(cos[-w]+sin[-w])到正无穷(cos[w]+sin[w])。
摘自：http://blog.chinaunix.net/u2/88035/showart_1950515.html