分的结果是一个w的函数：F(w)=S(f(t)e^jwt)dt。
这个F(w)有什么几何意义吗？显然，傅立叶变换的积分式是一个沿着|z|=1单位圆的，对于f(t)e^(jwt)的圆周积分。很显然，如果f(t)是个常数(支流电平)，那么这个积分就是0，说明频率=0。S(f(t)e^jwt)dt，把w看成常数，这个复平面的实轴是t！那么这个积分就是对弧长arc(t)的圆周曲线积分。对于每一个w点，都会有一个积分的值F，再把w看成变量，把无穷个值对(w,F)画出来就是F(w)的形状。
因此，傅立叶变换的几何物理意义就是f(t)某个w点做一圈乘积旋转(对e^jwt做积分就是正交分解)，得到多大的w分量当然，因为正交分量是数量是无穷多，每个分量的投影无穷小，所以把复数域的w投影的\分布密度\画出来(密度当然是实数不是虚数了)就是这个傅立叶变换的图案了，复频域就是连续的实频域！！！引申的，为了保证可积性，拉普拉斯引入了一个衰减因子，然后就能得到拉氏变换/反变换了。如果不可积，那么不可导点的s域复频率可以由复变函数的留数定理得到，理论上完整了。在复变函数的域内，所有的线性问题都可以被映射成为圆周问题。
结论1. 由傅立叶变换和拉普拉斯变换的性质，我们可以得到纯微分方程的求解方法。由e^iw表示的复数，导数等于自己乘以一个常数，两边消元了就是某种微分方程----可以用来解决高频震荡电路的问题。那么离散的差分方程呢? 其实就是s变换的简化形势，复数的辐角取了正负Pi，放在实数轴上考虑，F/S变换的时间移动特性变成了差分的特性，z域的所有性质都可以从F/S域经过简单的推导得到。
结论2. 画一个图来表示傅立叶变换的积分过程。这个复数积分是一个在单位圆上面旋转的矢量积分。左图是一个常数作F变换，可以看到矢量积分=0，也就是常数信号的复频率=0。右图是sin信号对于一个周期内的积分，可以靠到积分是一个实部为0的纯虚数，所以虚部=(e^jw-e^(-jw))/2i，所以复频率正负1。图虽然粗糙但是能说明问题。复数形式的正确性在于，实数积分的cos和sin相互正交，那么(cos+sin)和(cos-sin)之间也构成相互正交的关系。复数形式的傅立叶级数的求和范围是exp的负无穷(cos[w]-sin[w])=(cos[-w]+sin[-w])到正无穷(cos[w]+sin[w])。
摘自：http://blog.chinaunix.net/u2/88035/showart_1950515.html