《运筹学》试题样卷（一）
题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 一、判断题（共计10分，每小题1分，对的打√，错的打X）
1. 无孤立点的图一定是连通图。
2. 对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解， 另一个也一定有最优解。
3. 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 4．对偶问题的对偶问题一定是原问题。
5．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与都可以被选作换入变量。
6．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷 多个最优解。
7. 度为0的点称为悬挂点。
8. 表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。 9. 一个图G 是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。 10. 任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ?j?0对应的变量
二、建立下面问题的线性规划模型（8分）
某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季3500人日；春夏季4000人日。如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为25元 / 人日，秋冬季收入为20元 / 人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资800元，每只鸡投资3元。养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入900元 / 每头奶牛。养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入2元 / 每只鸡。农场现有鸡舍允许最多养1500只鸡，牛栏允许最多养200头。三种作物每年需要的人工及收入情况如下表所示： 大豆 玉米 麦子 秋冬季需人日数 春夏季需人日数 年净收入（元/公顷）
试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。
20 50 3000 35 75 4100 10 40 4600
三、已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表，表中松弛变量，问题的约束为 ? 形式（共8分） x1x3x1x4,x5为
x2 x3 x4 x5 5/2 5/2 0 1 0 1/2 －1/2 －４ 1 0 0 1/2 －1/6 －４ ０ 1/3 －２ cj?zj (1)写出原线性规划问题；（4分） (2)写出原问题的对偶问题；（3分）
(3)直接由上表写出对偶问题的最优解。（1分） 四、用单纯形法解下列线性规划问题（16分）
maxZ?2x1?x2?x3
s. t. 3 x1 + x2 + x3 ? 60 x 1- x 2 +2 x 3 ? 10 x 1+ x 2- x 3 ? 20 x 1, x 2 , x 3 ?0
五、求解下面运输问题。 （18分）
某公司从三个产地A1、A2、A3 将物品运往四个销地B1、B2、B3、B4，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示： 问：应如何调运，可使得总运输费最小?
销 地 产 地 A1A2B B B B 产 量 25 25 50 100 10 8 9 15 5 2 3 20 6 7 4 30 7 6 8 35 A3销 量 六、灵敏度分析（共8分）
线性规划max z = 10x1 + 6x2 + 4x3
s.t. x1 + x2 + x3 ? 100 10x1 +4 x2 + 5 x3 ? 600 2x1 +2 x2 + 6 x3 ? 300 x1 , x2 , x3 ? 0
的最优单纯形表如下： 6 10 0 x2 x1 x6 ?j 200/3 100/3 100 0 1 0 0 5/6 1/6 4 –8/3 1 0 0 0 5/3 -2/3 -2 -10/3 – 1/6 1/6 0 – 2/3 0 0 1 0 (1)C1在何范围内变化，最优计划不变？(4分) (2)b1在什么范围内变化，最优基不变？(4分)
七、试建立一个动态规划模型。（共8分）
某工厂购进100台机器，准备生产 p1 , p2 两种产品。若生产产品 p1 ，每台机器每年可收入45万元，损坏率为65%；若生产产品 p2 ，每台机器 每年可收入35万元，损坏率为35%；估计三年后将有新 的机器出现，旧的机器将全部淘汰。试问每年应如何安排生产，使在三年内收入最多？
八、求解对策问题。（共10分）
某种子商店希望订购一批种子。据已往经验，种子的销售量可能为500，1000，1500或2000公斤。假定每公斤种子的订购价为6元，销售价为9元，剩余种子的处理价为每公斤3元。 要求：
（1）建立损益矩阵；（3分）
（2）用悲观法决定该商店应订购的种子数。（2分）
（3）建立后悔矩阵，并用后悔值法决定商店应订购的种子数。（5分）
运筹学样卷（一）答案
一、 ① X
二、建线性规划模型。共计8分（酌情扣分）
解：用x1,x2,x3分别表示大豆、玉米、麦子的种植公顷数；x4,x5分别表示奶牛和鸡的饲养数；x6,x7分别表示秋冬季和春夏季的劳动力（人日）数，则有
判断题。共计10分，每小题1分
② √ ③ X ④ √ ⑤ √ ⑥ √ ⑦ X ⑧ √ ⑨ X 10 √
maxZ?3000x1?4100x2?4600x3?900x4?20x5?20x6?25x7
?100(土地限制?x1?x2?x3?1.5x4?400x4?3x5?15000(资金限制??20x1?35x2?10x3?100x4?0.6x5?x6?3500(劳动力限制?(劳动力限制?50x1?175x2?40x3?50x4?0.3x5?x7?4000?x4?200(牛栏限制?x5?1500(鸡舍限制???xj?0(j?1,2,?,7)
三、对偶问题。共计8分 解：（１）原线性规划问题：maxz?6x1?2x2?10x3
))))))
x2?2x2?5???3x1?x2?x3?10?x,x?02 ?1 ；……4分
（２）原问题的对偶规划问题为：
minw?5y1?10y2
3y2?6???y1?y2??2??2y1?y2?10? ?y1,y2?0 ； ……3分
?Y?(4,2)T。……1分 （３）对偶规划问题的最优解为：
四、单纯形表求解线性规划。共计16分 解：引入松弛变量x4、 x5、 x6，标准化得，
maxZ?2x1?x2?x3
s. t. 3 x1 + x2 + x3+ x4 x 1+ x 2- x 3
= 60
x 1- x 2 +2 x 3 + x5 = 10
+ x6 = 0
x 1, x 2 , x 3， x4、 x5、 x6，≥0……………3分
建初始单纯形表，进行迭代运算： ……………………… …9分
CB 0
Xb x4 b’ 60 2 x1 3 -1 x2 1 1 x3 1 0 x4 1 0 x5 0 0 x6 0 θ 20
0 0 ?1 0 2 0 ?2 0 2 -1 ?3 x5 x6 10 20 0 [1] 1 2* 0 1 0 0 0 1 0 0 -1 1 -1 4 -1 [2] 1* 0 0 1 0 2 -1 1 -5 2 -3 -3 1 0.5 -1.5 -1.5 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 -3 1 -1 -2 -1 0.5 -0.5 -1.5 0 1 0 0 0 1 0 -2 0.5 0.5 -0.5 10* 20 7.5 --- 5* x4 x1 x6 30 10 10 20 x4 x1 x2 10 15 5 25 由最优单纯形表可知，原线性规划的最优解为： ( 15 , 5 , 0 )T …2分
最优值为： z*=25。………2分
五、求解运输问题。共计18分 解：
（1）最小元素法：（也可以用其他方法，酌情给分） 设xij为由Ai运往Bj的运量（i=1,2,3; j=1,2,3,4）, 列表如下：
销 地 B1 B2 B3 B4 产 量 产 地 1 2 3 销 量 15 15 20 20 30 30 25 5 5 35 25 25 50 100 ……………3分 所以，基本的初始可行解为：x14 =25； x22=20 ； x24 =5 ；
X31 =15； x33 =30； x34=5
其余的xij=0。 …………3分
（2）求最优调运方案：
1会求检验数，检验解的最优性：?11=2；?12=2；?13=3；
?21=1；?23=5；?32= - 1…………3分
2会求调整量进行调整：=5 …………2分
销 地 B1 B2 B3 B4 产 量 产 地 1
25 25
2 3 销 量 15 15 15 5 20 30 30 10 35 25 50 100 …3分
3再次检验 …………2分
4能够写出正确结论
解为：x14=25 ； x22 =15 ； x24 =10 x31 =15， x32 =5 x33=30
其余的xij=0。 ……1分
最少运费为： 535 ………1分。
六、灵敏度分析。共计8分 （1）（4分） ??8/3?2/3???10/3?max?, ???c1?min??1/61/6?2/3????
?4??c1?5,6?10?4?c1??c1?10?5?15
（2）（4分） ?200/3????100/3?100?max??,??b?min, ????15/3?2/3?2????
?40??b1?10
七、建动态规划模型。共计8分
解：(1)设阶段变量k表示年度，因此，阶段总数n=3。
(2)状态变量sk表示第k年度初拥有的完好机床台数， 同时也是第 k–1 年度末时的完好机床数量。
(3)决策变量uk，表示第k年度中分配于生产产品 p1 的机器台数。于是sk– uk便为该年度中分配于生产产品 p1的机器台数． （4） 状态转移方程为
sk?1?0.35uk?0.65(sk?uk)（5）允许决策集合,在第 k 段为 U(s)?{u0?u?s}kkkkk（6）目标函数。设gk(sk,uk)为第k年度的产量，则
gk(sk,uk) = 45uk + 35(sk–uk) ,
因此，目标函数为 3 R?gk(sk,uk) k?i?k（7）条件最优目标函数递推方程。
f(s)?max(u(s))kkkku?U
令fk(sk)表示由第k年的状态sk出发，采取最优分配方案到第3年度结束这段时间的产品产量，根据最优化
原理有以下递推关系： {[45 uk?35(sk?uk)]?fk?1[0.35uk?0.65(sk?uk)]}（8）.边界条件为
f3?1(s3?1)?0
kk