又p0=0.9, 以之代入统计量U得U的观察值为
∣u∣=∣0.71-0.9∣0.9×0.1120=6.94>u0.01=2.33, 故拒绝H0, 即认为该药品不真实. 习题4
一位中学校长在报纸上看到这样的报道：“这一城市的初中学生平均每周看8小时电视.”她认为她所领导的学校，学生看电视时间明显小于该数字. 为此，她向她的学校的100名初中学生作了调查，得知平均每周看电视的时间xˉ=6.5小时，样本标准差为s=2小时，问是否可以认为这位校长的看法是对的(α=0.05)? 解答：
检验假设H0:μ=8,H1:μ<8.
由于n=100, 所以T=Xˉ-μS/n近似服从N(0,1)分布，α=0.05,u0.05=1.645. 又知xˉ=6.5,s=2, 故计算得 t=6.5-82/100=-7.5, 否定域W={Xˉ-8S/n<-u0.05.
因为-7.5<-1.645, 故否定H0, 认为这位校长的看法是对的. 习题5
已知某种电子元件的使用寿命X(h)服从指数分布e(λ), 抽查100个元件，得样本均值xˉ=950(h), 能否认为参数λ=0.001(α=0.05)? 解答：
由题意知X～e(λ),E(X)=1/λ,D(X)=1/λ2, 故当n充分大时 u=xˉ-1/λ1nλ=(xˉ-1λ)λn=(λxˉ-1)n(0,1). 现在检验问题为
H0:λ=0.001,H1:λ≠0.001,
样本值 u=(0.001×950-1)×100=0.5,α=0.05,u0.025=1.96.
因∣u∣ 某产品的次品率为0.17, 现对此产品进行新工艺试验，从中抽取400检查，发现次品56件，能否认为这项新工艺显著地影响产品质量(α=0.05)? 解答： 检验问题为 H0:p=0.17,H1:p≠0.17, 由题意知 ?p=mn=56400=0.14, u=(?p-p0)p0q0n=0.14-0.170.17×0.83×400≈-1.597, α=0.05,u0.025=1.96. 因∣u∣ 某厂生产了一大批产品，按规定次品率p≤0.05才能出厂，否则不能出厂，现从产品中随机抽查50件，发现有4件次品，问该批产品能否出厂(α=0.05)? 解答： 问题归结为在α=0.05下，检验假设 H0:p≤0.05,H1:p>0.05. 这是一个单侧检验问题，用u检验法，H0的拒绝域为 U=Xˉ-p0p0(1-p0)n>uα. 已知n=50,p0=0.05,xˉ=450=0.08, 代入U的表达式得 u=0.08-0.050.05×0.9550≈0.97 从选区A中抽取300名选民的选票，从选区B中抽取200名选民的选票，在这两组选票中，分别有168票和96票支持所提候选人，试在显著水平α=0.05下，检验两个选区之间对候选人的支持是否存在差异. 解答： 这是两个比率的比较问题，待检假设为 H0:p1=p2,H1:p1≠p2. 由题设知n=300,μn=168,m=200,μm=96, p1=168320=0.56,p2=96200=0.48, p=μn+μmm+n=264500=0.528. U0～=p1-p2p(1-p)(1n+1m)=0.56-0.480.528×0.472×1120≈1.755, 由P{∣U～∣>1.96}=α=0.05, 得拒绝域∣U～∣>1.96, 因为 U0～=1.755<1.96, 故接受H0, 即两个选区之间无显著差异. 7.5 分布拟合检验 习题1 一个正20面体，每一个面上都标有0,1,2,?,9中的某一个数字，并且这10个数字中的每个都标在两个面上. 现在抛掷这个正20面体800次，标有数字0,1,2,?,9的各面朝上的次数如表所示，判断这个正20面体是否由均匀材料制成的(α=0.05). 朝上一面的数字x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数fi 85 93 84 79 78 69 74 71 91 76 解答： 判断这个正20面体是否由均匀材料制成，实际上就是判断这个正20面体的每一个面朝上的概率是否相等，设X为抛掷一次朝上的面上的数字，因此本问题是在α=0.05下检验假设 H0:P{X=i}=110,i=0,1,2,?,9. 将试验的可能结果分为10个互不相容的事件 A0,A1,?,A9, 当H0成立时，P{X=i}有估计值 pi=P{X=i}=1/10,i=0,1,?,9, 列表如表： Ai k 概率pi npi 频数fi (fi-npi)2 (fi-npi)2npi A0 0 1/10 80 A1 1 1/10 80 A2 2 1/10 80 A3 3 1/10 80 A4 4 1/10 80 A5 5 1/10 80 A6 6 1/10 80 A7 7 1/10 80 A8 8 1/10 80 A9 9 1/10 80 ∑ 由于当H0为真时， χ2=∑i=0k(fi-npi)2npi～χ2(k-1-r), 且此检验问题的拒绝域为χ2≥χα2(k-1-r). 这里χ2=7.375, 查表知 χ0.052(10-1-0)=χ0.052(9)=16.9, 显然χ2=7.375<16.9=χ0.052(9), 即χ2未落在拒绝域中，所以接受H0, 即认为这个正20面体是由均匀材料制面的. 85 93 84 79 78 69 74 71 91 76 800 25 169 16 1 4 121 36 81 121 16 0.3125 2.1125 0.2 0.0125 0.05 1.5125 0.45 1.0125 1.5125 0.2 7.375 1 习题2 根据观察到的数据 疵点数 0 1 2 3 4 5 6 频数fi 14 27 26 20 7 3 3 检验整批零件上的疵点数是否服从泊松分布(α=0.05). 解答： 设X表示整批零件上的疵点数，则本问题是在α=0.05下检验假设 H0:P{X=i}=λie-λi!,i=0,1,2,?. 由于在H0中参数λ未具体给出，所以先估计λ的值. 由极大似然估计法得 λ=xˉ=1100(0×14+1×27+2×26+3×20+4×7+5×3+6×3)=2. 将试验的所有可能结果分为7个互不相容的事件A0,A1,?,A7, 当H0成立时，P{X=i}有估计值 p0=P{X=0}=e-2≈0.135335, p1=P{X=1}=2e-2≈0.27067, p2=P{X=2}=2e2≈0.270671, p3=P{X=3}≈0.180447, p4=P{X=4}=2/3e-2≈0.090224, p5=P{X=5}=4/15e-2≈0.036089, p6=P{X=6}=4/45e-2≈0.0120298. 列表如下： Ai k 概率pi A0 0 0.135335 A1 1 0.270671 13.5335 A2 2 0.270671 27.0671 A3 3 0.180447 27.0672 A4 4 0.090224 18.0447 A6 6 0.0120298 ∑ npi 频数fi (fi-npi)2 (fi-npi)2npi 14 27 26 20 0.2176 0.01608 0.0045 0.000166 1.1387 0.04207 3.8232 0.211874 A5 5 0.036089 9.02243.60891.2029813.83428 73313 0.6960 0.050310 100 0.3205 当H0为真时， χ2=∑i=0k(fi-npi)2npi～χ2(k-1-r), 且此检验问题的拒绝域为χ2≥χα2(k-1-r), 这里χ2=0.3205, 查表知 χ0.052(5-1-1)=χ0.052(3)=7.815. 显然 χ2=0.3205<7.815=χ0.052(3). 即χ2未落在拒绝域中，接受H0, 故可认为整批零件上的疵点数服从泊松分布. 习题3 检查了一本书的100页，记录各页中印刷错误的个数，其结果为 错误个数fi 0 1 2 3 4 5 6 ≥7 含fi个错误的页数 36 40 19 2 0 2 1 0 问能否认为一页的印刷错误个数服从泊松分布(取α=0.05)? 解答： 检验假设H0: 一页的印刷错误个数X服从泊松分布， P{X=i}=λie-λi!,i=0,1,2,?. H0 不成立. 先估计未知参数λ λ=xˉ=1/100(0×36+1×40+2×19+3×2+4×0+5×2+6×1)=1. 在H0成立下 pi=P{X=i}=(λ)ie-λi!=e-1i!,i=0,1,2,?. 用χ2检验法 χ2=∑i=1k(fi-npi)2npi～χ2(k-r-1). 本题中r=1, 其中fi为频数. H0的拒绝域为 Rα={χ2>χα2(k-r-1)}. 列表计算如下：n=100, 对每个{X=i}计算 pi,npi,fi-npi,(fi-npi)2/(npi)(i=1,2,?,7). 要求每一个npi≥5. 错误个数 频数fi pi∧ npi∧ fi-npi∧ (fi-npi∧)2/(npi∧) {X=i} 0 1 2 3 4 5 6 7 36 40 19 2,0,2,1,05 0.3679 0.3679 0.1839 0.0613 0.0153 0.0031 0.00051 0.000073 36.79 36.79 18.39 -0.79 3.21 0.61 0.0170 0.2801 0.0202 6.13,1.53,0.31,0.051,0.00738.0283 -3.0283 自由度为4-1-1=2, 查表得χ0.052(2)=5.991. 计算χ2值 χ2=0.0170+0.2801+0.0202+1.1423=1.4596. 因为χ2<5.991, 故接受H0，即认为一页的印刷错误个数服从泊松分布。 习题4 某车床生产滚珠，随机抽取了50个产品，测得它们的直径为(单位：mm): 15.0 15.8 15.2 15.1 15.9 14.7 14.8 15.5 15.6 15.3 15.1 15.3 15.0 15.6 15.7 14.8 14.5 14.2 14.9 14.9 15.2 15.0 15.3 15.6 15.1 14.9 14.2 14.6 15.8 15.2 15.9 15.2 15.0 14.9 14.8 14.5 15.1 15.5 15.5 15.1 15.1 15.0 15.3 14.7 14.5 15.5 15.0 14.7 14.6 14.2 经过计算知道，样本均值xˉ=15.1, 样本方差s2=(0.4325)2, 问滚珠直径是否服从正态分布N(15.1,0.43252)? 解答： 用X表示滚珠直径. 待检验的假设为 H0:X～N(15.1,0.43252). 对数据进行分组，分成7组，在数轴上选取6个分点： 14.3,14.6,14.9,15.2,15.5,15.8 将数轴分成7个区间 (-∞,14.3],(14.3,14.6],??,(15.8,+∞). 设各组的端点分别为(ai-1,ai],i=1,2,?,7，则 pi=F(ai)-F(ai-1)=∫ai-1ai12π×0.4325e-(x-15.1)22×(0.4325)2dx，i=1,2,?,7 当H0成立时，列表如下 i pi npi 1 2 3 4 5 6 7 0.032 0.092 0.198 0.270 0.231 0.125 0.053 1.6 4.6 9.9 13.5 11.55 6.25 2.65