fi 3 5 10 16 8 6 2 (fi-npi)2 1.96 0.16 0.01 6.25 12.6075 0.625 0.4225 (fi-npi)2npi 1.225 0.0348 0.001 0.403 1.0911 0.01 0.1594 所以 χ2=∑i=17(fi-npi)2npi=2.9843. 由于总体分布函数中含有未知参数，因此应查自由度为4的χ2分布表，当α=0.05时，临界值 χ0.052(4)=9.488. 因χ2=2.9843<9.488, 故H0相容，即可以认为滚珠直径服从N(15.1,0.43252). 习题5 根据某市公路交通部门某年中前6个月交通事故记录，统计得星期一至星期日发生交通事故的次数如下： 星期 1 2 3 4 5 6 7(日) 次数 36 23 29 31 34 60 25 问交通事故发生是否与星期几无关(α=0.05)? 解答： 设X为一周中各天发生交通事故的总数，如果交通事故的发生与星期几无关，则X应具有分布律 P{X=i}=pi=1/7 (i=1,2,?,7), 于是问题归结为检验假设 H0:pi=1/7,H1:pi≠1/7 (i=1,2,?,7). 用分布的χ2拟合检验法判之. 把每一天看成一个小区间，计算出相应的fi,npi,列表如下 星期 fi npi fi-npi (fi-npi)2/npi 0.1176 3.5588 0.7353 0.2647 0 19.8824 2.3824 χ2=26.941 1 2 3 4 5 6 日 36 238×1/7 2 23 238×1/7 -11 29 238×1/7 -5 31 238×1/7 -3 34 238×1/7 0 60 238×1/7 26 25 238×1/7 -9 ∑ 238 238 由k=7,r=0, 查表得临界值 χα2(k-r-1)=χ0.05(6)=12.592, 由于χ2=26.9412>12.592, 故拒绝H0, 即认为交通事故的发生与星期几有关，显然，星期六的交通事故比其它6天多. 习题6
下表记录了2880个婴儿的出生时刻：
试问婴儿的出生时刻是否服从均匀分布U[0,24](显著性水平α=0.05)?
解答：
原假设H0:F0(x), 由F0(x)算得
pi=F0(i)-F0(i-1)=124, npi=2880×124=120 (i=1,2,?,24), 于是 χ2=∑i=124(fi-npi)2npi≈40.47, 对α=0.05, 自由度n-1=23, 查χ2-分布表，得 χα2(n-1)=35.17,
因为χ2=40.47>35.17, 所以拒绝H0, 即可以认为婴儿出生时刻不服从均匀分布U[0,24].
总习题解答
习题1
下面列出的是某工厂随机选取的20只部件的装配时间(min): 9.8,10.4,10.6,9.6,9.7,9.9,10.9,11.1,9.6,10.2, 10.3,9.6,9.9,11.2,10.6,9.8,10.5,10.1,10.5,9.7.
设装配时间的总体服从正态分布N(μ,σ2),μ,σ2均未知，是否可以认为装配时间的均值显著地大于10(取
α=0.05)?
解答： 检验假设
H0:μ≤μ0=10,H1:μ>10.
已知n=20,α=0.05, 由数据算得xˉ=10.2,s≈0.5099. 因σ2未知，故用t检验法，拒绝域为 W={Xˉ-μ0S/n>tα(n-1).
计算得 xˉ-μ0s/n=10.2-100.5099/20≈1.7541. 查t分布表得t0.05(19)=1.7291.
因为1.7541>1.7291, 故拒绝H0, 可以认为装配时间的均值显著地大于10. 习题2
某地早稻收割根据长势估计平均亩产为310kg, 收割时，随机抽取了10块，测出每块的实际亩产量为
x1,x2,?,x10, 计算得xˉ=110∑i=110xi=320. 如果已知早稻亩产量X服从正态分布N(μ,144), 显著性水平α=0.05, 试问所估产量是否正确？
解答：
这是一个正态分布总体，方差已知，对期望的假设检验问题，如果估计正确，则应有μ=310, 因此我们先将问题表示成两个假设： ① H0:μ=310, H1:μ≠310.
接下来就要分析样本值来确定是接受H0, 还是接受H1. 当H0为真时，统计量
② U=Xˉ-31012/10～N(0,1), 从而有
③P{∣U∣>1.96}=0.05, 拒绝域为(-∞,-1.96)∪(1.96,+∞). ④计算U0=∣320-310∣12/n≈2.64>1.96,
即拒绝H0, 也就是有理由不相信H0是真的，故认为估产310kg不正确. 习题3
设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，样本标准差为15分，问在显著水平0.05下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程.
解答：
(1)设这次考试全体考生的平均成绩X～N(μ,σ2)，则待检验假设
H0:μ=70, 备择假设H1:μ≠70;
(2)在H0成立条件下选择统计量
T=Xˉ-μ0S/n～t(n-1);
(3)在显著性水平0.05下，查t分布表，找出临界值
tα/2(n-1)=t0.025(35)=2.0301, 则拒绝域为(-∞,-2.0301)∪(2.0301,+∞);
(4)计算 t=∣66.5-70∣15/36=1.4∈(-2.0301,2.0301),
故接受H0, 因此可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分. 习题4
设有来自正态总体的容量为100的样本，样本均值xˉ=2.7,μ,σ2均未知，而 ∑i=1n(xi-xˉ)2=225, 在α=0.05水平下，检验下列假设
(1)H0:μ=3,H1:μ≠3; (2)H0:σ2=2.5,H1:σ2≠2.5.
解答：
(1)由题意知 n=100,xˉ=2.7,s=199×225≈1.508,
t=(2.7-3)1.508×100≈-1.9894, α=0.05,t0.025(99)≈t0.025(100)=1.984.
因∣t∣=1.9894>t0.025(99)=1.984, 故拒绝H0, 即认为μ≠3.
(2)由题意知χ2=∑i=1n(x1-xˉ)22.5=2252.5=90,
α=0.05, χ0.0252(99)≈χ0.0252(100)=129.56, χ0.9752(99)≈χ0.9752(100)=74.22, 因 χ0.9752(99)<χ2=90<χ0.0252(99), 故接受H0, 即可以认为σ2=2.5. 习题5
设某大学的男生体重X为正态总体，X～N(μ,σ2), 欲检验假设： H0:μ=68kg,H1:μ>68kg.
已知σ=5, 取显著性水平α=0.05, 若当真正均值为69kg时，犯第二类错误的概率不超过β=0.05, 求所需样本大小. 解答：
由第一类、第二类错误及分位数的定义，易于证明：对于某个给定的δ>0
(∣μ-μ0∣≥δ)，样本容量n应满足：
n≥(uα+uβ)2σ2δ2.
因为α=β=0.05, 故uα=uβ=1.645, 对其对立假设μ=69而言，取δ=1, 则 n=(uα+uβ)2σ2δ2=(1.645+1.645)2×251≈270.6, 故取n=271.
习题6
某装置的平均工作温度据制造厂家称不高于190°C. 今从一个由16台装置构成的随机样本测得工作温度的平均值和标准差分别为195°C和8°C，根据这些数据能否说明平均工作温度比制造厂所说的要高？（设
α=0.05, 并假设工作温度近似服从正态分布.）
解答：
设X为工作温度，则X～N(μ,σ2).
① 待检假设H0:μ≤190, 备择假设H1:μ>190; ②在H0成立条件下，选择统计量 T=Xˉ-μ0S/n≈t(n-1);
③在显著性水平0.05下，查t分布表，找出临界值 tα(n-1)=t0.05(15)=1.75, 拒绝域为(1.75,+∞);
④计算t=Xˉ-μ0S/n=195-1908/16=2.5>1.75, 所以否定原假设H0, 说明平均工作温度比制造厂所说的要高. 习题7
电工器材厂生产一批保险丝，抽取10根试验其熔断时间，结果为 42 65 75 78 71 59 57 68 54 55
假设熔断时间服从正态分布，能否认为整批保险丝的熔断时间的方差不大于80(α=0.05)? 解答：
①待检假设H0:σ2≤80, 备择假设H1:σ2>80; ②在H0成立时，选取统计量
χ2=(n-1)S2σ02～χ2(n-1); ③由α=0.05,n-1=9, 查χ2分布表， χα2(n-1)=χ0.052(9)=16.919;
④计算样本值：xˉ=110(42+65+75+78+71+59+57+68+54+55)=62.4, s2=19∑i=110(xi-xˉ)2≈121.8, χ2=9×121.880≈13.7∈(0,16.919).
故接受原假设H0即在α=0.05下，可认为整批保险丝的熔断时间的方差不大于80. 习题8
某系学生可以被允许选修3学分有实验物理课和4学分无实验物理课，11名学生选3学分的课，考试平均分数为85分，标准差为 4.7分；17名学生选4学分的课，考试平均分数为79分，标准差为6.1分. 假定两总体近似服从方差相同的正态分布，试在显著性水平α=0.05下检验实验课程是否能使平均分数增加8分？ 解答：
设有实验的课程考分X1～N(μ1,σ12), 无实验的课程考分X2～N(μ2-σ22). 假定σ12=σ22=σ2未知，检验假设 H0:μ1-μ2=8,H1:μ1-μ2≠8.
由题意知，选用t检验统计量，则拒绝域为
W={∣x1ˉ-x2ˉ-(μ1-μ2)sw1n1+1n2∣>tα/2(n1+n2-2),
其中 sw2=(n1-1)s12+(n2-1)s22n1+n2-2. 由x1ˉ=85,x2ˉ=79,n1=11,n2=17,s1=4.7,s2=6.1, 算出 sw=(11-1)×4.72+(17-1)×6.1211+17-2≈5.603. 从而算出t值为
t=85-79-85.603111+117≈-0.92, 由α=0.05, 查表得
t0.025(11+17-2)=t0.025(25)=2.056,
因为∣t∣=0.92<2.056, 故接受H0, 认为μ1-μ2=8. 习题9
某校从经常参加体育锻炼的男生中随机地选出50名，测得平均身高174.34厘米；从不经常参加体育锻炼的男生中随机地选50名，测得平均身高172.42厘米. 统计资料表明两种男生的身高都服从正态分布，其标准差分别为5.35厘米和6.11厘米，问该校经常参加锻炼的男生是否比不常参加锻炼的男生平均身高要高些(α=0.05)? 解答：
设X,Y分别表示常锻炼和不常锻炼男生的身高，由题设 X～N(μ1,5.352),Y～N(μ2,6.112). ①待检假设H0:μ1≤μ2, 备择假设H1:μ1>μ2;
②选取统计量U=Xˉ-Yˉσ12n+σ22m～(H0成立)N(0,1); ③对于α=0.05, 查标准正态分布表，uα=u0.05=1.64; 则拒绝域为(1.64,+∞)；
④计算u=174.34-172.425.35250+6.11250≈1.67>1.64,
故否定原假设H0, 即表明经常体育锻炼的男生平均身高比不经常体育锻炼的男生平均身高高些. 习题10
在漂白工艺中要改变温度对针织品断裂强力的影响，在两种不同温度下分别作了8次试验，测得断裂强力的数据如下(单位：kg):
70°C:20.8 18.8 19.8 20.9 21.5 19.5 21.0 21.2 80°C:17.7 20.3 20.0 18.8 19.0 20.1 20.2 19.1
判断两种温度下的强力有无差别(断裂强力可认为服从正态分布α=0.05)? 解答：
(1)本问题是在α=0.05下检验假设μ1=μ2, 为此需要先检验σ12=σ22是否成立. H01:σ12=σ22, H11:σ12≠σ22. 选取统计量F=S12S22, 在H01成立的条件下， F～F(n1-1,n2-1), 且此检验问题的拒绝域为
F>Fα/2(n1-1,n2-1)或F