故
?10n?2448?0.95????,?10n?1.64?n?244.8,nn?272.
所以需272a元.
10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，
设一个学生无家长、1 名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布. （1） 求参加会议的家长数X超过450的概率？
（2） 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 【解】（1） 以Xi(i=1,2,?,400)记第i个学生来参加会议的家长数.则Xi的分布律为
Xi P 0 0.05 1 0.8 2 0.15 易知E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,?,400. 而X??Xi,由中心极限定理得
i400?Xi400i?400?1.1400?0.19X?400?1.1近似地?~N(0,1).
4?19于是P{X?450}?1?P{X?450}?1????450?400?1.1?? 4?19?? ?1??(1.147)?0.1357.
(2) 以Y记有一名家长来参加会议的学生数.则Y~B(400,0.8)?由拉
普拉斯中心极限定理得
6
?340?400?0.8?P{Y?340??????(2.5)?0.9938.
?400?0.8?0.2?11. 设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？
【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数，则X~B（10000，0.515）
?要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求
P{X≤5000}. 由中心极限定理有
?5000?10000?0.515?P{X?5000}??????(?3)?1??(3)?0.00135.
?10000?0.515?0.485?12. 设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为
0.9.以95%概率估计，在一次行动中： （1）至少有多少个人能够进入？ （2）至多有多少人能够进入？
【解】用Xi表第i个人能够按时进入掩蔽体（i=1,2,?,1000）.
令 Sn=X1+X2+?+X1000. (1) 设至少有
m人能够进入掩蔽体，要求
P{m≤Sn≤1000}≥0.95，事件
S?900??m?1000?0.9{m?Sn}???n?. 90??1000?0.9?0.1由中心极限定理知：
?m?1000?0.9?P{m?Sn}?1?P{Sn?m}?1?????0.95.
?1000?0.9?0.1?从而 ???m?900???0.05, 90?? 7
故
m?900??1.65, 90所以 m=900-15.65=884.35≈884人?
(2) 设至多有M人能进入掩蔽体，要求P{0≤Sn≤M}≥0.95.
?M?900?P{Sn?M}?????0.95. 90??查表知M?900=1.65,M=900+15.65=915.65≈916人. 9013. 在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险
费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求：
（1） 保险公司没有利润的概率为多大；
（2） 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？ 【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数，则X~B（10000，0.006）.
(1) 公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X=120”.
于是所求概率为
P{X?120}?1?120?10000?0.006???? 10000?0.006?0.994?10000?0.006?0.994?59.64)21?(60/111?60??????e2? 59.64?59.64?2?59.64?0.0517?e?30.1811?0
(2) 因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X≤60”?于是
8
所求概率为
?60?10000?0.006??0?10000?0.006?P{0?X?60}????????
?10000?0.006?0.994??10000?0.006?0.994? ??(0)??????60???0.5. 59.64?14. 设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相
关系数为0.5试根据契比雪夫不等式给出P{|X-Y|≥6}的估计. （2001研考） 【解】令Z=X-Y，有
E(Z)?0,D(Z)?D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2?XPD(X)?D(Y)?3.
所以
P{|Z?E(Z)|?6}?P{|X?Y|?6}?D(X?Y)31??. 62361215. 某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，
以X表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.
（1） 写出X的概率分布；
（2） 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值.
（1988研考）
【解】（1） X可看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，
而在每次试验中被盗户出现的概率是0.2，因此，
X~B(100,0.2)，故X的概率分布是
kP{X?k}?C1000.2k0.8100?k,k?1,2,?,100.
9
(2) 被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件
{14≤X≤30}的概率.由中心极限定理，得
?30?100?0.2??14?100?0.2?P{14?X?30}????????
?100?0.2?0.8??100?0.2?0.8? ??(2.5)??(?1.5)?0.994?[?9.33]?0.927. 16. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱
平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.
【解】设Xi（i=1,2,?,n）是装运i箱的重量（单位：千克），n为
所求的箱数，由条件知，可把X1，X2，?，Xn视为独立同分布的随机变量，而n箱的总重量Tn=X1+X2+?+Xn是独立同分布随机变量之和，由条件知： E(Xi)?50, D(Xi)?5, E(Tn)?50n, D(Tn)?5n.
Tn?50n近似地~N(0,1),故箱数n取决依中心极限定理，当n较大时，5n于条件
?T?50n5000?50n?P{Tn?5000}?P?n??
5n??5n ???因此可从
?1000?10n???0.977??(2). n??1000?10n?2解出n<98.0199, n10