高考物理难点建模 07磁聚焦模型
一模型鉴定
本模型是指速率相同的同种带电粒子在经过圆形匀强磁场运动的过程中,当粒子运动轨迹半径与磁场区域半径相等时所引起的一类会聚与发散现象.
二模型破解
如图1所示,设粒子在磁场中沿逆时针旋转,粒子从磁场边界上P点以相同速率沿各个方向进入圆形有界匀强磁场.粒子运动轨迹半径为r,磁场区域半径为R.
(i)沿任意方向入射的粒子出射方向都相同,出射速度都在垂直于入射点所在直径的方向上. (ii)若初速度与磁场边界上过P点的切线之间的夹角为?,则粒子在磁场中转过的圆心角度也为?. 如图2所示,当?0
??2时,粒子出射点在与PO垂直的直径端点上;当??2?3时（即与入射点所在磁
场直径成30夹角时）粒子在磁场中运动的轨迹圆心在磁场边界上,运动轨迹通过磁场区域的圆心，出射点的坐标为（
3R，3R）. 22(iii)如图3所示,相同速率的同种粒子以相同的初速度射向圆形匀强磁场时,若粒子在磁场中运动的轨迹半径与磁场区域的半径相等,则经过磁场区域的所有粒子都会聚到磁场区域的一条直径的端点处,该直径与粒子初速度相垂直.
图3
欲使所有粒子都会聚到同一点,磁场区域的直径应等于粒子束的宽度d,从而磁场强弱也随之确
dmv?定:. 2qB如图4所示，粒子进入磁场时速度与所在磁场半径的夹角与穿出磁场时速度与所在磁场半径的夹角相
等。
图1
图2
例1.如图所示，真空中有一以（r，O）为圆心，半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，在y≤一r的范围内，有方向水平向右的匀强电场，电场强度的大小为E。从0点向不同方向发射速率相同的电子，电子的运动轨迹均在纸面内。已知电子的电量为e，质量为m，电子在磁场中的偏转半径也为r，不计重力及阻力的作用，求：
例1题图
（1）电子射入磁场时的速度大小；
（2）速度方向沿x轴正方向射入磁场的电子，到达y轴所需的时间；
（3）速度方向与x轴正方向成30°角（如图中所示）射入磁场的电子，到达y轴的位置到原点O的距离。
【答案】（1）v??m2mreBr3er
（2）（3）?y?r?r?Br?2eBeEmmE
（3）电子在磁场中转过120°角后从P点垂直电场方向进入电场，如图所示
P点距y轴的距离为x1?r?rcos60??1.5r
设电子从进入电场到达到y轴所需时间为t3，则 由x1?1eE2t3得： 2mt3?3mr eE在y方向上电子做匀速直线运动，因此有?y?vt3?Br3er mE3er 。 mE所以，电子到达y轴的位置与原点O的距离为?y?r?r?Br
例2.如图所示的直角坐标系中，在直线x=?2L0 到y轴的区域内存在着两个大小相等，方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场沿y轴正方向。在电场的左边界上A(?2L0,?L0)到C(?2L0,0)区域内，连续分布着电荷量+q，质量为m的粒子。从某时刻起由A点到C点间的粒子，依次连续以相同速度V0沿x轴正方向射入电场。若从A点射入的粒子，恰好从y轴上的A′(0,L0)沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图，不计粒子的重力及它们间的相互作用。求：
（1）匀强电场的电场强度E
（2）在AC间还有哪些位置的粒子通过电场后能沿x轴正方向运动
（3）若以直线x=2L0上的某点为圆心的圆形区域内，分布着垂直于xoy平面向里的匀强磁场，使沿x轴正方向射出电场的粒子经磁场偏转后都通过直线x=2L0与圆形磁场边界的一个交点处，而便于收集，则磁场区域最小半径是多少？相应的磁场强度B是多大？
2mv02【答案】（1）E?ql0（3）
1（2）AC间y坐标为y??2l0(n=1,2,3,……)
n
5L B8?8mv05ql0
(2)设到C点距离为?y处出射的粒子通过电场后也沿x轴正方向运动,第一次到达x轴用时?t,水平位移为?x,则?x?v0t,?y若满足2l01qE?(?t)2 2m?n?2?x,则从电场中射出时的速度方向也沿x轴的正方向