第四章习题解答
4-1 一束电子进入1.2T的均匀磁场时,试问电子的自旋平行于和反平行于磁场的电子的能量差为多大?
????解：∵磁矩为?的磁矩，在磁场B中的能量为：
???? U = -?·B= -?szB 电子自旋磁矩 ?sz=??B
∴电子自旋平行于和反平行于磁场的能量差u =?BB – (-?BB) =2?BB ∴u = 2?BB =2 ×0.5788×10?4eV·T?1× 1.2 T = 1.39 ×10?4 eV
4-2 试计算原子处于2D3/2状态的磁矩μ及投影μz的可能值. 解：由2D3/2可知 S=
13 J= L=2 2213??2?3431S(S?1)?L(L?1)3122 ∴gj=+=+=
3522225J(J?1)?22又?j=gj?B435j(j?1) =××?B =1.55 ?B
522 ∴?=1.55 ?B
3113 又?j,z?mjgj?B 又mj?,,?,?
2222142 ∴?j,z??×?B???B
255346 或?j,z??×?B???B
2556226 即?j,z?(,,?,?)?B
5555
4-3 试证实:原子在6G3/2状态的磁矩等于零,并根据原子矢量模型对这一事实作出解释.
解：由6G3/2 可知：S =
53 J = L = 4 2257??4?531S(S?1)?L(L?1)3122 ∴ gJ??·??·?0
3522J(J?1)22×22 ∴ ?J?j(j?1)gj?B?0
即原子在6G3/2状态的磁矩等于零。
?????? 解释：∵原子的总角动量为 J?L?S，而处于6G3/2态原子各角动量为： L?L(L?1)??4(4?1)??20??4.47? S?S(S?1)??5535(?1)????2.96? 2223315(?1)????1.94? 222 J?J(J?1)?? 则它们的矢量关系如图示：
??????L和S同时绕J旋进，相对取项保持不变
由三角形余弦定理可知：
????121L?J?(L?J2?S2)=[L(L?1)?2?J(J?1)?2?S(S?1)?2]
22?2355715 ?[4?5????]??2
222222????12?257351522 而S?J?(S?J?L)?(????4?5)???2
2222224 ∴相应的磁矩 ?S??gS????B??2?B?S??S ?? ????gL????B????L????B??L
???S??L
???????????? 由于磁矩?随着角动量绕J旋进，因而对外发生效果的是?在J方向上的分量。其大小计算如下：
?????????????????????J(?L??S)?J ?J????(L?J?2S?J)B
JJ?J1515?? ??(?2?)B?0
24J????此结果说明，?垂直于J，因而原子总磁矩?J?0
4-4 在史特恩-盖赫拉实验中,处于基态的窄的银原子束通过极不均匀的横向磁场,并射到屏上,磁极的纵向范围d=10cm,磁极中心到屏的距离D=25cm.如果银原子的速率为400m/s,线束在屏上的分裂间距为2.0mm,试问磁场强度的梯度值应为多大?银原子的基态为2S1/2,质量为107.87u.
??解：原子束通过非均匀磁场时，如果磁场B在Z方向，可以证明：落在屏幕上的
原子束偏离中心的距离为：
Z??Bd?D?Bd?D?J,ZZ?Mg?B 3KT?Z?Z3KT?BZ是横?Z（式中T为炉温，d为不均匀磁场的线度，D是磁场中心到屏的距离，
向不均匀磁场梯度，?J,Z是原子的总磁矩在Z方向的分量），分裂后的原子束偏
?Bd?D?BZ 3KT?Z11 对2S1/2： S=，L=0，J=
2213?322?3?1?2 ∴g??22?1?32222离中心的最大距离 Z = Jg Z′=2Z
又 Z′=2.0mm ∴ Z=10mm
?BZZ2?3KTZ2?mv2 = ??ZJgdD?BJgdD?B10?3?107.87?1.66?10?27?4002T?m?1 ?1?2?0.1?0.25?0.9274?10?2322.868?10?23 ?
2.32?10?25 ?1.24?10?2T?m?1
4-5 在史特恩-盖赫拉实验中(图19.1),不均匀横向磁场梯度为 ????BZ/?Z?5.0T/cm ,磁极的纵向范围d=10cm, 磁极中心到屏的距离D=30cm,使用的原子束是处于基态4F3/2的钒原子,原子的动能Ek=50meV.试求屏上线束边缘成分之间的距离．
解：设在屏上偏离x轴的距离为Z2
∴Z2=?mjgj?B?BZdD
?Z3KT33 J? L?3 2235??3?431S(S?1)?L(L?1)31222 ∴gJ????·?
3522J(J?1)225?2231133 mJ?,,?, 要求线束边缘间的距离，则mJ取
22222 由 4F3/2 可知 S? 热平衡时 mV2?3KT?2EK?2?50meV?100meV ∴Z2?mjgj?B?BZdD
?Z3KT3210?30cm =??5.788?10?5?5?25100?10?3 =0.52cm
∴Z?2Z2?2?2.52cm?1.04cm
4-6 在史特恩-盖赫拉实验中,原子态的氢从温度为400K的炉中射出,在屏上接受到两条氢束线,间距为0.60cm.若把氢原子换成氯原子(基态为2P3/2),其它实验条件不变,那么,在屏上可以接受到几条氯束线?其相邻两束的间距为多少? 解：在史—盖实验中，原子束分裂条数等于2J+1，对Cl，基态为2P即J?3/2，
3，23因此屏上可接受到的氯束线为2??1?4条,而原子束在屏上分裂的相邻两束的
2间距为：
?Z=gdD?BZ?B
3KT?ZdD?BZ?B=A 为一定值，于是有：
3KT?Z对于确定的实验装置和实验条件，g
?Z1g1 ??Z2g2因为加热原子蒸气的炉温为400K，远小于105K，此时，炉中的氢原子处于基态（2S1/2），对于基态氢原子 L=0 S≠0 则g1=2 对于基态氯原子 L=1 S=1/2 J=3/2 朗德因子为
13??1?23224 g2???
35232??22∴ ?Z2?
4-7 试问波数差为29.6cm-1的赖曼系主线双重线,属于何种类氢离子?
解：赖曼系第一条谱线是由n=2向n=1跃迁产生的，不考虑精细结构时，其波数为
??RZ2(1?1)?3RZ2 ?12224g24/3?Z1??0.60?0.40（cm） g12当n=1时，L=0 电子态为1S
当n=2时，L=0，1 电子态为2S和2P，按选择定则，此谱线只能来自2P→1S的跃迁。由于电子自旋和轨道运动的相互作用，2P能级具有双层结构—22P1/2和