求这个高次方程的正根，就是平均发展速度。但是，要求解这个高次方程是比较复杂的。因此，在实际工作中，通常是根据《平均增长速度查对表》计算。
aa由于??a01a?1??a2????ana1a2an???1或100%时，表明现象?????，如果?n?a0?a0a0a0a0??a?1?????1或100%时，表明现象是递减是递增型，应在累计法查对表的递增速度部分查找；如果?n?a0??型，应在累计法查对表的递减速度部分查找。然后再计算平均发展速度和平均增长速度速度。
用水平法和累计法计算平均发展速度的方法具有不同的特点及应用条件。用水平法计算平均发展速度往往取决于最末水平与最初水平之比。而累计法则取决于报告期内各年水平之和与基期水平之比。水平法侧重于观察期末的发展水平，在检查工农业生产、运输与商业等计划时比较适宜。而累计法侧重于观察全期总量的计划完成情况及各年发展水平的累计总和，这对检查基建投资、城市公用事业及干部培养等计划比较适合。
(三)应用两种方法计算平均速度指标应注意的问题
利用水平法计算平均发展速度是各期环比发展速度的序时平均数，它掩盖了环比发展速度之间的差异。累计法的侧重点则是从各年发展水平的累计总和出发来进行研究，按照方程式法所确定的平均发展速度推算的全期各年发展水平的总和，与全期各年的实际发展水平的总和相同。因此，为了准确说明现象在较长时期内逐年平均发展状况，在应用平均速度指标时，应注意以下几个问题：
1.要依据具体研究目的适当地选择基期，并注意其所依据的基本指标在整个研究时期的同质性。如果资料中间有几年环比发展速度增长特别快，而有几年降低得又较多，出现显著的悬殊和不同发展方向，以及所选择的最初水平和最末水平受特殊因素的影响而过高或过低，如果这样的资料来计算平均速度就会降低这一指标的意义，甚至失去代表性而不能确切说明实际情况。
2.应计算分段平均速度来补充总速度，并以特殊速度来补充说明平均速度。这在分析较长时期的历史资料时更为重要。因为一个总的平均速度仅能笼统地反映在较长一段时期内的一般平均发展或增长程度，不能具体深入地反映现象发展变化过程及变化情况。
3.平均速度指标应与所依据的各个指标(如发展水平、增长量、环比速度、定基速度)结合，只有结合这些指标，进行分析研究和补充说明，才能深刻认识现象的发展过程和特点，揭示现象的发展规律。
四、速度分析与水平分析的结合与应用
在一般情况下，考察现象的发展程度通常用环比发展速度指标来衡量。由于各期环比发展速度的计算基数不同，而绝对数又是相对数的基础，因此各期环比增长速度所反映的实际增长的绝对量效果就可能不同，即每增长1%相对应的绝对增长量可能不同。因为低水平基础上的平均增减速度与高水平基础上的平均增减速度是不可比的，因此，对现象发展进行动态分析时，必须注意速度背后的绝对增长量。
通常用增长1%的绝对值来考察速度背后隐藏的绝对增长量。增长1%的绝对值是指逐期增长量与环比增长速度之比。其计算公式为
增长1%的绝对值?an?an?1a逐期增长量??n?1
环比增长速度?100an?an?1100?100an?1因而，增长1%的绝对值等于前期水平除以100。
第四节 动态数列的趋势分析
一、影响动态数列因素的分析 【引例】
动态数列各项发展水平的变化是由许多因素共同作用的结果，有些因素属于基本因素，对事物的发展起决定性作用，会使事物的发展呈现出一定的规律性；有些因素属于偶然的非基本因素，对事物的发展只起局部的非决定性作用，使事物的发展表现出不规则的波动。为了研究社会经济现象发展变化的规律和趋势，并据此预测未来，就要将这些影响动态数列的因素加以分解并分别进行测定。在具体分析中可按影响因素的性质不同加以分类。一般将社会经济现象动态数列的总变动分解为长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动四种主要因素。 (一)长期趋势
长期趋势是指客观现象在一个相当长的时期内，受某种稳定性因素影响所呈现的上升或下降趋势，也可以表现为只围绕某一常数值而无明显增减变化的水平趋势。 (二)季节变动
季节变动是指客观现象受季节更换的影响，在一年或更短的时间内，随时间的变动而呈现的周期性波动。
(三)循环变动
循环变动是指客观现象以若干年为周期的涨落起伏相间的变动。 (四)不规则变动
不规则变动是指客观现象由于突发事件或偶然因素引起的无周期性的变动，也称为随机变动。 这四种因素的变化构成了事物在一定时期内的变动。在对动态数列进行分析时，首先要明确的是这四种类型因素变动的构成形式，即它们是如何结合及相互作用的。把这些构成因素和动态数列的关系用一定的数学关系表示，就构成了动态数列影响因素分解模型，一般常用的数学模型有加法模型和乘法模型。
加法模型是假定四种变动因素是互相独立的，则动态数列各期发展水平是各个影响因素相加的总和。其结构为 Y=T+S+C+I
式中，T为长期趋势；S为季节变动；C为循环变动；I为不规则变动。
乘法模型是假定四种因素存在着某种相互影响关系，互不独立。因此，动态数列各期发展水平是各个影响因素相乘之积，其结构为 Y=T·S·C·I
由于乘法模型在两边取对数后，也成为加法模型的形式，因此可以理解这两种假定在原则上没有区别，都是假设动态数列各因素是可加的。 【能力训练】
请从时间长短、起伏规律和形成原因等三个方面判断下面这些现象属于动态数列构成因素中的哪一个？
①银行的活期储蓄额，发放工资前减少，发放工资后增多。
②旅游景点的游客人数，周末达到高峰。
③公共汽车乘客人数一天中几个时段为高峰，另外几个时段为低谷。 ④耐用消费品如电视、冰箱周期性更新导致需求量的变化。 ⑤我国粮食产量从长时间来看是不断增长的。 ⑥由于雪灾造成的对防寒物资需求量的增大。 二、长期趋势的测定
长期趋势测定的方法很多，常用的有：时距扩大法、移动平均法、数学模型法等等。下面将分别介绍这些方法的运用。
(一)时距扩大法
这是测定长期趋势最原始、最简便的方法。它是把原来动态数列中所包括的各个时期资料加以合并，得出较长时距的资料，用以消除由于时距较短，受偶然因素影响所引起的不均匀状况。经过对原始动态数列扩大时距修匀，可以整理出新的能明显表示现象发展趋势的动态数列。
应用时距扩大法时需要注意以下几个问题：
第一，扩大的时距多大为宜取决于现象自身的特点。对于呈现周期波动的动态数列，扩大的时距应与波动的周期相吻合；对于一般的动态数列，则要逐步扩大时距，以能够显示趋势变动的方向为宜。时距扩大得太大，将造成信息的损失。
第二，扩大的时距要一致，相应的发展水平才具有可比性。 (二)移动平均法
这种方法实质上是时距扩大法的改良。它在动态数列中按一定项数逐项移动计算平均数，达到对原始数列进行修匀的目的。修匀的原理与时距扩大法一样，即从较长时期看，短期数据由于偶然因素影响而形成的差异，在加总过程中会相互抵消，故移动平均动态数列能够反映原动态数列的总趋势。
采用移动平均法所计算出的新数列比原动态数列的项数要少。一般来说，被平均的项数越多，修匀的作用就越大，而所得的移动平均数就越少；反之，被平均的项数越少，修匀的作用就越小，所得的移动平均数就越多。所以，时距的选择要适中，否则不利于揭示现象的发展趋势。一般情况下，数列如果存在自然周期，应根据周期确定被平均的项数。 (三)数学模型法
它是用适当的数学模型来反映动态数列各因素之间的关系，从而计算各期的趋势值的方法。它是在测定长期趋势时广泛使用的一种方法。下面以直线趋势的测定为例来说明这种方法的具体应用。
如果动态数列逐期增长量相对稳定，即现象发展水平按相对固定的绝对速度变化时，则采用直线（线性函数）作为趋势线，来描述趋势变化，预测前景。 如以时间因素作为自变量（t），把数列水平作为因变量（ye ），拟合的直线趋势方程为 ye =a+bt
参数a，b的求法，常用平均法和最小平方法，这里只介绍最小平方法。
最小平方法，也叫最小二乘法，是分析和预测现象长期趋势常用的方法之一。它的基本思想是：通过对原始数列的数字处理，拟合一条比较理想的趋势直线或趋势曲线，使原数列各实际值与趋势值的离差平方和为最小，即
??y?y?e2为最小值。能够满足
??y?y?e2为最小值的直线趋势
方程ye =a+bt,其参数a、b的计算公式为 b?n?ty???t???y?n?t???t?22
y?b?t?a?
n 为了简化计算，可用坐标移位的方法，使
?t=0。
【案例】
某企业2000～2008年的销售额资料见表5-17。
表5-17 2000～2008年某企业的销售额资料
年 份 时间t 销售额y t 2ty 预测值ye （万元） 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 合 计 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 300 324 347 372 396 420 446 469 495 3569 16 9 4 1 0 1 4 9 16 60 -1200 -972 -694 -372 0 420 892 1407 1980 1461 299.16 323.51 347.86 372.21 396.56 420.91 445.26 469.61 493.96 3569.04 将表中数据代入公式，可得
ty1461???24.35 b?60t?2 a??y?3569?396.56
n9 则所拟合的直线趋势方程为 ye =396.56+24.35t
将各年的时间序号代入方程，可得出预测值数列ye ，见表5-17。若预测2007年销售额，将t=6代入方程得ye =396.56+24.35×6=542.66（万元）
三、季节变动的测定
在现实生活中，季节变动是一种极为普遍的现象。例如，许多农副产品的产量都因季节更替而有淡季、旺季之分；商业部门的许多商品的销售量也随着气候的变化而形成有规律的周期性变动。季节变动具有三个特点：一是季节变动每年重复进行；二是季节变动按照一定的周期进行；三是每个周期变化强度大体相同。
研究季节变动的目的在于了解季节变动对人们经济生活的影响，以便更好地组织生产和安排生活。分析季节变动，还可以根据季节变动规律，配合适当的季节变动模型，结合长期趋势，进行经济预测，计划未来行动。
分析和测定季节变动最常用、最简便的方法是按月（季）平均法。这种方法是通过对若干年资料的数据，求出同月份的平均水平与全数列总平均月份水平，然后对比得出各月份各季节比率。季节比率是进行季节变动分析的重要指标，可用来说明季节变动的程度。其计算公式为 季节比率(%)?同月份平均水平?100%
总平均月份水平通过季节比率的计算，可以观察和分析某种社会经济现象季节变动的规律性。季节比率高说明“旺季”，反之说明“淡季”。现举例说明季节比率的应用。 【案例】
某商场最近四年各月份空调的销售量资料见表5-18。具体计算过程如下： 第一步，计算同月份平均水平。
10?9?12?91月份平均数??10
4其余参见表5-18中的第7列。
表5-18 某商场空调销售量资料 单位：台
年 月 （1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计 平均 2005 （2） 10 19 20 24 32 42 41 88 30 22 16 8 352 29.3 2006 （3） 9 15 24 24 36 45 48 82 28 19 17 13 360 30.0 2007 （4） 12 12 20 18 36 46 57 88 26 22 17 16 370 30.8 2008 （5） 9 10 36 14 32 43 30 86 28 21 18 15 342 28.5 四年合计 （6） 40 56 100 80 136 176 176 344 112 84 68 52 1424 118.6 同月平均 （7） 10 14 25 20 34 44 44 86 28 21 17 13 356 29.7 季节比率（%） （8） 33.7 47.2 84.3 67.4 114.6 148.3 148.3 289.9 94.4 70.8 57.3 43.8 1200 100 第二步，求总平均月份水平。 第三步，计算季节比率。
第四步，用季节比率进行预测。
为了预测以后各年不同月（或季）的发展趋势和状况，通常假定按过去资料测定的季节变动模型能够适用于未来。因此，按月（或季）平均预测法的计算公式为
各月（或季）预测值=上年各月（或季）的平均水平×各月（或季）的季节比率 如对2006年销售量进行预测：
5月份的销售量=28.5×114.6%=33（台） 8月份的销售量=28.5×289.9%=83（台）
通过上面计算的由各月份季节比率组成的数列，可以看出空调销售量的季节变动趋势，自1月份以后，各月份季节比率逐月增长，8月份达到最高峰，9月份开始下降，到12月份降到最低点。
按月平均法计算简便，容易掌握。但季节比率的计算不够精确，究其原因，一是它不考虑长期趋势的影响；二是季节比率的高低受各年数值大小的影响，数值大的年份，对季节比率的影响较大；数值小的年份，对季节比率的影响较小。
附录 应用Excel进行动态数列分析
一、应用Excel计算动态数列指标 二、应用Excel进行动态数列趋势分析 (一)移动平均法测定长期趋势变动
(二)按月(月)平均法求季节比率测定季节变动