《数学建模》
课程第二次作业
地方日报的最优订阅价格问题
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地方日报的最优订阅价格问题
摘要
随着社会的发展与进步，通讯技术也更加的先进，人们对新闻报道的需求也更加具有时效性，所以作为传统的报纸行业面临考验。在这种情况下，报纸厂商为了获取更大的利润就需要从各个方面着手改变。
本文就是一家报纸厂商通过调整报纸的订阅价格来获得最大的利润，题目中的报纸订阅价格是一个独立的有限制的变量所以该题我们可以采取有约束的变量最优化模型求解。
问题一是求使利润最大的报纸订阅价格。通过分析，报纸的订阅价格是一个相对独立的变量，所以我们利用有约束的优化模型，微分法求解：结果为要获得最大的利润，报纸的订阅价格为1.6美元/份，获得最大的利润为120000美元。 问题二是对（1）中所得结论讨论损失5000订户的参数的灵敏性，求出3000、4000、5000、6000及7000的最优订阅价格。模型中的损失订户是假设预测的考虑其灵敏，在计算中我们利用微分法进行灵敏性分析利用Mathmatica画出相应的图形即可求得不同损失订户时的最优订阅价格。
问题三是设n=5000为提高定价10美分而损失的订户数，求最优订阅价格p作为n的函数关系，并用这个公式求灵敏性S(p,n)。方法用微分法进行灵敏性分析。结果为：每当报纸的订阅价格增加1%，出售的日报就在每周减少5000份的基
础上在减少0.516%份。
问题四是用自己的语言来分析这家报纸厂商是否应该改变其报纸的订阅价格。根据以上的分析可得：可以提高报纸的订阅价格到1.6美元/份，这样报纸厂商所得的利润最大，与此同时还可以减少员工的工作时间，因此可以提高报纸的订阅价格。
本文针对地方日报的最优订阅价格问题，采用了最优化模型的基本方法建立了一个最优化模型，采用了数学微分法对其求解得到的结果通过敏感性分析符合实际，而且在解题过程中运用了Mathmatica画出了相应的图形，使得对结果的说明更加的直观。
关键词：最优化 灵敏性 单变量 微分法
一、 问题提出
【问题1】 一家有80000订户的地方日报计划提高其订阅价格。现在的价格为每周1.5美元。据估计如果每周提高订价10美分，就会损失5000订户。 问题：（1）求使利润最大的订阅价格？
（2）对（1）中所得结论讨论损失5000订户这一参数的灵敏性。分别假设这个参数值为：3000、4000、5000、6000及7000，计算最优订阅价格。 （3）设n=5000为提高定价10美分而损失的订户数。求最优订阅价格p作为n的函数关系。并用这个公式来求灵敏性S(p,n)。
（4）这家报纸是否应该改变其订阅价格？用通俗易懂的语言说明你的结论。
二、 基本假设
1、日报订阅价格为一次性提高；
2、订户每户只能订一份日报，订户一旦订阅日报之后无在退订情况发生； 3、日报订阅价格每周七天均保持不变；
4、直到达到最优价格之前，每周日报的价格均提高0.1美元； 5、日报订阅价格提高，日报订阅用户数量立即在当周减少5000；
三、 符号说明
符号 r p m n W S L 意义 起始周日报订阅价格 日报订阅单价 每周提高定价 每周价格提高后损失订户数 日报起始总定数 每周总利润 提高价格后的用户数 备注 单位：美元/份 单位：美元/份 单位：美元/份 单位：户 单位：户 单位：美元 单位：户 四、 问题分析 五、 模型的建立与求解
5.1 问题一模型建立与求解 5.1.1 问题一的分析
本题中，根据题意的，我们可以得到下面的关系式
提高价格到p美分后的用户为L,L(p)?W?5.1.2 问题一模型的建立
p?rm?n
由上述分析与基本假设，原问题的数学模型如下：
maxS(p)?(W?p?rm?n)?p；p?r
5.1.3 问题一模型的求解
当W=80000，r=1.5，m=0.1，n=5000时S(p)?(80000?p?1.50.1?5000)?p
根据以上分析，S是一个关于P的连续可微函数，该日报的最优订阅价格问题可由微积分法求解，求解过程如下： (1) 求导：
S?(p)?15500?100000p
(2) 驻点为：p?1.55（美元/份）
根据模型可画出函数S关于p的图象如下：
图一
51.?,51.由图一可知函数S（p）在
在 ?1.55,???单调递减，故 p?1.55? 单调递增，
是函数S（p）的极大值点。
依题意可知日报价格提高了0.05美元，不符合每周提高0.1美元的要求。 假设日报价格不提高：S =120000
假设日报价格提高了0.1美元后：S =120000
根据报社实际情况，在利润相同的条件下，订户数越少，报社的工作量就越小，故取价格提高0.1美元，即日报最优订阅价格为1.6美元。 5.1.4 问题一结果的分析及验证
结果的合理性。 5.2 问题二模型建立与求解 5.2.1 问题二的分析
数据是由测量、观察甚至猜测得到，因此需要考虑数据的不准确的可能性。有些数据的具有相当大的确定性，如日报当前的价格，日报现在的订户数，有些数据的确定性却很低，如日报价格提高的幅度对应的订户数减少的数量，在前面，我们假设n=5000(户)，m=0.1(美元/份) 5.2.2 问题二模型的建立
考虑m=0.1不变,n发生变化时,日报最优订阅价格关于价格每周提高m美元减少的用户数量的灵敏性 则有模型 max p?n?04000n?34
5.2.3 问题二模型的求解
由上面的模型可知，n变化时，最优日报价格p的变化如下表一和图二：
n p 3000 2.08 4000 1.75 表一
问题二模型的图象有如下：
5000 1.55 6000 1.42 7000 1.32