类型⑥ 全等三角形存在性问题探究
,备考攻略)
抛物线上是否存在一点，使之与另3个点构成的两个三角形全等．
1．一般有2个不确定的点，三角形形状不明确，学生分析对应边有困难． 2．原理是“边角边”的全等判定理解有困难 .
1．分析不变特征：先研究定点、动点，进一步在两个三角形中进行研究，发现只有一条定线段，所以两个三角形都不确定．
2．考虑形成因素，画图，求解，由于三角形形状不明确，则考虑两个三角形的对应关系，通过三角形的公共边，可确定出对应边．要想全等，只需满足这两组对应边的所夹夹角相等即可，所以抛物线上的动点实际是抛物线与某条角平分线的交点．
抛物线上的动点与两定点、一动点构成的两个三角形全等．典题精讲)
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【例】如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是抛物线y＝－x2－2x＋4上
2的一个动点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，经过点P的直线PE与y轴交于点E，是否存在△OPE与△OPD全等？若存在，请求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由．
,
【解析】由△OPE≌△OPD可得∠OPD＝∠OPE，即点P在各象限的角平分线上，分点P在第一、三象限的角平分线上和点P在第二、四象限的角平分线上两种情况求出点P的坐标，应用待定系数法求解即可．
【答案】解：存在．
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∵y＝－－2x＋4＝－(x＋2)2＋6，
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∴抛物线的对称轴为直线x＝－2，∴OD＝2.
如图，OD＝OE，OP＝OP，若△OPD≌△OPE，则∠OPD＝∠OPE， 即点P 在各象限的角平分线上．
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①若点P在第一、三象限的角平分线上，又因为点P在抛物线上，联立方程组 y＝x，??
?12
??y＝－2x－2x＋4，
?x1＝－3＋17，解得?
y＝－3＋17，?1?x2＝－3－17，
?
?y2＝－3－17，
∴P1(－3＋17，－3＋17)，P2(－3－17，－3－17)．
当P1(－3＋17，－3＋17)，E1(0，－2)时，由待定系数法可求P1E1的解析式为y＝7＋17
x－2； 4
当P2(－3－17，－3－17)，E2(0，－2)时，由待定系数法可求P2E2的解析式为y＝7－17
x－2； 4
②若点P在第二、四象限的角平分线上，则 y＝－x，???x3＝－4，?x4＝2，
解得 ? ??12
y＝4，y＝－2，y＝－x－2x＋4，??34?2?
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∴P3(－4，4)，P4(2，－2)，当P3(－4，4)，E3(0，2)时，求得P3E3的解析式为y＝－x
2＋2，
当P4(2，－2)，E4(0，2)时，求得P4E4的解析式为y＝－2x＋2.
综上所述，直线PE的解析式为y＝＝－2x＋2.
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．
7＋177－171
x－2或y＝x－2或y＝－x＋2或y442
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(1)求抛物线的函数解析式，并分别求出点B和点E的坐标；
(2)试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE，若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)抛物线经过点A(－2，0)，D(6，－8)，
?4a－2b－8＝0，∴?
36a＋6b－8＝－8，?
1??a＝2，解得?
??b＝－3，
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∴抛物线的函数解析式为y＝x2－3x－8，
21125∵y＝x2－3x－8＝(x－3)2－，
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∴抛物线的对称轴为直线x＝3.又∵抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为(－2，
0)，点B的坐标为(8，0)，
4
设直线l的函数解析式为y＝kx.∵点D(6，－8)在直线l上，∴6k＝－8，解得k＝－.
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∴直线l的函数解析式为y＝－x，
3
4
∵点E为直线l和抛物线对称轴的交点，∴点E的横坐标为3，纵坐标为－×3＝－4，
3即点E的坐标为(3，－4)；
(2)抛物线上存在点F.
∵E的坐标为(3，－4)，C的坐标为(0，－8)， ∴OE＝5，CE＝5，∴△OEC是等腰三角形，
使△FOE≌FCE.则∠FEO＝∠FEC，点F在∠OEC的平分线上， ∴yF＝－4，
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把yF＝－4代入抛物线解析式y＝x2－3x－8，
2求得x1＝3－17，x2＝3＋17，
∴点F的坐标为(3－17，－4)或(3＋17，－4)．
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