第四章练习题
1. 设随机变量X的分布律为如下, 求E(X),E(2X?1),E(X2).
?1 0 0.5 1 2 X p 0.35 0.15 0.10 0.15 0.25 解：
2. 射击比赛,每人射4次,每次射一发,约定全都不中得0分,只中一弹得15分,中两弹得30分,中三弹得55分,中四弹得100分.甲每次射击命中率为0.6,问他期望得多少分?
解：
3. 9粒种子分种在3个坑内，每粒种子发芽的概率为0.5．若一个坑内至少有１粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种１个坑需10元，用?表示补种费用，写出?的分布列并求?的数学期望．
解：
16
4. 某公司估计在一定时间内完成某项任务的概率如下表 天数 1 2 3 4 5 概率 0.05 0.20 0.35 0.30 0.10 (1) 求该任务能在3天之内完成的概率; (2) 求完成该任务的期望天数;
(3) 该任务的费用由两部分组成:20000元的固定费用加每天2000元,求整个项目费用的期望值;
(4) 求完成天数的方差和标准差. 解：
5. 设离散型随机变量X的概率分布为 （1）
X 1 2 3 4 5 6 pk 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 (2)
X 1 2 3 4 5 6 pk 1/6 1/12 1/12 1/6 3/12 3/12 试求EX,DX,众数和中位数. 解：
17
6. 设两个相互独立的随机变量X和Y均服从正态分布(1,1/5).如果随机变量X-aY+2满足条件
D(X?aY?2)?E[(X?aY?2)2]
求（1）a的值；
（2）E(X?aY?2)及D(X?aY?2)
解：
7. 游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行.一游客在早上八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在[0,60]上服从均匀分布，求该游客等候时间Y的数学期望.
解：
8. 某电力排灌站，一天内停电的概率为0.1（设若停电，全天不能工作），若4天内全不停电，可获得利润6万元；如果停电一次，可获利3万元；如果有二次停电，则获利为0万元；若有三次以上停电，要亏损1万元.求4天内期望利润是多少？
解：
18
9. 一台设备由三大部件构成，在设备运行中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20,0.30.假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，求X的概率分布、数学期望EX和方差DX.
解：
10. 一商店经销某种商品，每周进货的数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从区间[10,20]上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品可得利润500元.试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.
解：
11. 已知X,Y的相关系数为?,??aX?b,??cY?d.,求?,?的相关系数??? 解：
19
12. 设X~N(0,?12),Y~N(0,?22)，且相互独立U?a1X?a2Y,V?a1X?a2Y
（1）分别写出U,V的概率密度函数； （2）求U,V的相关系数； （3）讨论U,V的独立性；
（4）当U,V相互独立时，写出(U,V)的联合密度函数
解：
13. 设A,B是二随机事件；随机变量 X???1,若A出现??1，若A不出现 Y???1,若B出现??1，若B不出现
试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立. 解：
20