其中， kx?2? n1/L1， ky?2? n2/L2， kz?2? n3/L3，n1、n2、n3都是整数。
kx、 ky、 kz的取值都是等间隔取值，间隔分别为2?/L1，2?/L2，2?/L3。所以，在 kx、 ky、
kz构成的空波矢间中代表量子态的点子分布是均匀的。一个点子占有的“体积”是
???(2?)/(L1L2L3)?(2?)/V，这里V?L1L2L3，为晶体的体积。
但能量只与波矢大小k有关，k?332mE/?，能量在0~E范围在k空间占有的“体积” /?
3??43? k?343?(2mE)3/2所以能量在0~E范围内的量子态数为
443/2333/23N??/???[?(2mE)/?]/[(2?)/V]??V(2mE)/h
33对上式微分就得到能量在E~E+ΔE范围内的量子态数
?N?2?V(2m)3/2E1/2 ?E/h
3考虑到电子自旋具有向上和向下两种状态，应乘以2，故能态密度为
D(E)??N/?E?4?V(2m)3/2E1/2 /h
3 7.14 准自由电子近似零级近似下的波函数为?k(x)?01Leikx，其中k?l2?L，l 为整数。证
明：当 k'?k?n2?aL时，??00k'*(x)H'?k(x)dx?0。
0证：H'?V(x)?V0??'Vnnei2?anx，故
L??00k'*(x)H'?(x)dx?0k'V??L0n1Lnei(2?an?k?k')xdx （1）
6
s?0?1 ?isx而积分e?dx??1(eisL?1) s?0
L0??isL1L比较（1）式，s?2?an?k?k'?isL2?an?2?Ll?2?Ll'，sL?2?(nN?l?l')
2?a（n为任意整数），
即sL为2?的整数倍，故(e?1)?0。所以，只要s?0，即k'?k?nL则（1）式右边每项积分都为0，故??00k'*(x)H'?k(x)dx?0
0 7.15 已知一维晶体中某个能带可写成：E(k)?A0(4coska?sinka)，其中A0?0，
2??a?k?解：
?a。求：（1）能量的最大值和最小值；（2）能带底部和顶部的电子有效质量。
dEdk2?A0(?4asinka?2asinkacoska)?2aA0(?2?coska)sinka
dEdkdEdk22?2aA0(?2coska?cos2ka)
2(1) 令
?0 得sinka?0，即k?0, 2?a。由（2）式知，
dEdk2|k?0??2aA0?0，而
2dEdk2|k??a?6aA0?0，
2所以k?0处为极大值，Emax?E(0)?4A0 而 k??a处为极小值，Emin?E(?a)??4A0
(2) k??a为能带底部，m*|底?[1dE?22dk22|k??a]?1??/(6aA0)
22k?0为能带顶部，m*|顶?[1dE?2dk2|k?0]?1???/(2aA0)
22 7.16 用能带理论解释金属、半导体、绝缘体在导电性能方面的差异。
7
答：按照能带理论，满带电子不能导电（全部电子对电流的总贡献等于零）而不满带电子可以导电。金属中，除去满带外，还有部分地被填充的能带，后者可以起导电作用。在半导体或绝缘体中，只有满带与空带，但是半导体的禁带宽度较小，一般在2个电子伏特以下，而绝缘体的禁带宽度较大。在极低温度下，两者导电性能都很差。当温度逐渐升高以后，总会有少数电子，由于热激发，从满带跳到邻近的空带中去；使原来的空带也有了少数电子，成为导带；而原来的满带，现在缺了少数电子，成为近满带，也具有导电性。在半导体中，由于禁带窄，电子容易从满带激发到导带中去；而在绝缘体中，禁带太宽，激发的电子数目极少，以至没有可察觉的导电性。
习题8
8.1 纯Ge、Si中掺入Ⅲ族或Ⅴ族元素后，为什么使半导体导电性能有很大的改变？杂质半导体（p型或n型）应用很广，但为什么我们很强调对半导体材料的提纯？
答：纯Ge、Si中的载流子浓度（即本征载流子浓度ni）很低，Ⅲ族或Ⅴ族元素是有效的受主或施主杂质，即容易电离而提供载流子。即使掺入微量的杂质（例如百万分之一），提供的载流子浓度也远高于ni，所以使半导体导电性能有很大的改变。
不同的杂质产生的影响很不相同，对半导体掺杂的目的是需要对半导体的性能进行控制。只有在特定的区域掺入特定的杂质才能取得所需的效果，如果半导体材料不纯，就很难控制半导体的性能，也就不能制备所需的器件。
8.2 当E-EF为1.5kBT、4 kBT、10 kBT时，分别用费米分布函数和玻耳兹曼分布函数计算电子占据各该能级的概率。 解: 费米分布函数 f(E)?1e(E?EF)/kBTF?1
玻耳兹曼分布函数fB(E)?e?(E?E)/kBTE-EF为1.5kBT时,f(E)=0.182,fB(E)=0.2231； E-EF为4kBT时,f(E)=0.01799,fB(E)=0.01832；
E-EF为1.5kBT时,f(E)=0.0000453979,fB(E)=0.0000453999。 （注：保留的有效数字的位数只要能显示两种分布的差别即可） 8.3 f(E,T)为费米分布函数，而费米能级EF又与温度有关，试证
?f?T??[TddT(EFT)?ET]?f?E
证：将f(E,T)写成复合函数，即f(E,T)?1e?1u，而u?(E?EF)/kBT，则
8
?u?E?1kBT；
?u?TET?f?E?EkBd(?1T2)?1dkBdTET(EFT)
所以
?u?T??1kBT[??TdT(EFT)]?[??TddT(EFT)]?u?E
而
?f?Tdf?udu?T，
?df?udu?E， 所以
?f?T?[?ET?TddT(EFT)]?f?E
8.4 解释本征半导体、n型半导体、p型半导体，它们的主要特点是什么？
答：本征半导体：无杂质、无缺陷的理想半导体，满足n=p，电导率很低，费米能级近似在禁带中央；
n型半导体：掺施主杂质的半导体，电子是多数载流子，即n>p，费米能级偏向导带； p型半导体：掺受主杂质的半导体，空穴是多数载流子，即p>n，费米能级偏向价带。
8.5 有二块n型硅材料，在某一温度T时，第一块与第二块的电子浓度之比为n1/n2?e（自然对数的底）。已知第一块材料的费米能级在导带底以下2kBT，求第二块材料中费米能级的位置，并求出两块材料空穴密度之比。
解：（1）由公式n?NCe?(EC?EF)kBT，得n1/n2?e(EF1?EF2)/kBT，
解出费米能级 EF1?EF2?kBTln(n1/n2)
已知n1/n2?e，EC?EF1?2kBT，故EF2?EF1?kBT?EC?3kBT （2）由公式p?NVe?(EF?EV)/kBT，得p1/p2?e(EF2?EF1)/kBT?1/e
8.6 室温下，硅的本征载流子密度为ni?1.5?10为102016m?3，费米能级为Ei，现在硅中掺入密度
m?3的磷，试求：（1）电子浓度和空穴浓度；（2）费米能级的位置。
解：（1）磷为施主杂质，ND远大于ni，故多子浓度约等于掺杂浓度
n?ND?10
20m?3
9
而 p?ni/n?2.25?10212m?3
（2）EF?Ei?kBTln(n/ni)?8.8kBT?0.23eV
8.7 室温下，本征锗的电阻率为47Ω·cm，试求本征载流子浓度。若掺入锑杂质，使每106个锗原子中有一个杂质原子，计算室温下电子浓度和空穴浓度。设杂质全部电离。锗原子的浓度为4.4×1022/cm3,试求该掺杂锗材料的电阻率。设?n=3600cm2/V·s，?p=1700cm2/V·s，且认为不随掺杂而变化。
解：（1）因?i?qni(?n??p)，
故ni??iq(?n??p)?1/471.6?10?6?19?(3600?1700)22?2.51?10(cm13?3)
（2）锑为施主，ND?10?4.4?10?4.4?10?16(cm?3)
16室温下杂质基本上都电离，多子浓度n?ND?ND?4.4?10(cm?3)
相应地 p?ni2n1??1.42?10cm10?3
电阻率 ???1q(n?n?p?p)?0.039(??cm)
8.8若 ND=5×1015cm-3, NA=1×1017cm-3，取ni=2.5×1013cm-3，kBT=0.026eV，求室温下 Ge突变 p-n结的VD。
解: VD?kBTqlnNANDni2?0.35 (V)
8.9有锗p-n结，设p区的掺杂浓度为NA，n区掺杂浓度为ND，已知ND=102 NA，而NA相当于108个锗原子中有一个受主原子，计算室温下接触电位电位差VD。若NA浓度保持不变，而ND增加102倍，试求接触电位差的改变。取锗原子密度4.4×1022cm-3。
解：（1) NA=10-8×4.4×1022cm-3=4.4×1014cm-3，ND=102 NA=4.4×1016cm-3
VD?kBTqlnNANDn2i?0.269 (V)
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