（2）若⊙O的半径为3，cosA=
4，求OF的长． 5
【分析】（1）连接OB根据已知条件得到△ABD∽△ACB，根据相似三角形的性质得到∠ABD=∠ACB，由等腰三角形的性质得到∠OBC=∠ACB，等量代换得到∠OBC=∠ABD，于是得到结论；
（2）设AB=4x，OA=5x，根据勾股定理得到AB=4，OA=5，求得AD=2，根据平行线分相等成比例定理得到BE=6，由勾股定理得到OE=BF=
，根据三角函数的定义即可得到结论．
=3
，根据三角形的面积公式得到
2
【解答】解：（1）连接OB，∵AB=AD?AC，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，∴∠ABD=∠ACB， ∵OB=OC，
∴∠OBC=∠ACB， ∴∠OBC=∠ABD， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CBD=90°，
∴∠OBC+∠OBD=90°，∠OBD+ABD=90°， 即∠OBA=90°，
∴直线AE是⊙O的切线； （2）∵OB=3，cosA=， 设AB=4x，OA=5x，
222
∵OA=AB+OB，
222
∴（5x）=（4x）+3， ∴x=1，
∴AB=4，OA=5， ∴AD=2， ∵OE∥BD， ∴∴BE=6， ∴OE=
=3
，
，
∵∠CBD=90°，BD∥OE， ∴∠EFB=90°，
∵s△OBE=OB?BE=OE?BF， ∴OB?BE=OE?BF， ∴BF=∵tan∠E=∴E=
，
．
，
，
∴OF=OE﹣EF=
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，切线的判定，三角形的面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标； （3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN的和最小，并求出PM+PQ+QN和的最小值．
【分析】（1）将点A、B、C坐标代入解析式，解关于a、b、c的方程组可得函数解析式，配方成顶点式即可得点M坐标；
（2）设N（t，﹣t2+2t+3）（t＞0），根据点N、C坐标用含t的代数式表示出直线CN解析式，求得CN与x轴的交点D坐标，即可表示BD的长，根据S△NBC=S△ABC，即S△CDB+S△
BDN=
1AB?OC建立关于t的方程，解之可得； 2（3）将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ，此时M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值，由点M′、N坐标求得直线M′N的解析式，即可求得点Q的坐标，据此知m的值，过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，可得M′E=6、NE=3、M′N=32?62=35，即M′Q+QN=35，据此知m=时，PM+PQ+QN的最小值为35+3．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）， ∴
，解得：
，
2
3222
∴y=﹣x+2x+3=﹣（x﹣1）+4，
则抛物线的顶点M坐标为（1，4）；
（2）∵N是抛物线上第四象限的点，
2
∴设N（t，﹣t+2t+3）（t＞0）， 又点C（0，3），
设直线NC的解析式为y=k1x+b1，
则，
解得：，
∴直线NC的解析式为y=（﹣t+2）x+3， 设直线CN与x轴交于点D，
当y=0时，x=∴D（
，
，
，0），BD=3﹣
∵S△NBC=S△ABC，
∴S△CDB+S△BDN=AB?OC，即BD?|yC﹣yN|= [3﹣（﹣1）]×3， 即×（3﹣
2
）[3﹣（﹣t+2t+3）]=6，
2
整理，得：t﹣3t﹣4=0，
解得：t1=4，t2=﹣1（舍去），
2
当t=4时，﹣t+2t+3=﹣5， ∴N（4，﹣5）；
（3）将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ，
则MM′=3，
∵P（m，3）、Q（m，0）， ∴PQ⊥x轴，且PQ=OC=3， ∴PQ∥MM′，且PQ=MM′，
∴四边形MM′QP是平行四边形， ∴PM=QM′，
由作图知当M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值， 设直线M′N的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）， 将点M′（1，1）、N（4，﹣5）代入，得：
，
解得：，
∴直线M′N的解析式为y=﹣2x+3， 当y=0时，x=， ∴Q（，0），即m=，
此时过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，
在Rt△M′EN中，∵M′E=1﹣（﹣5）=6，NE=4﹣1=3， ∴M′N=∴M′Q+QN=3
=3，
+3．
，
∴当m=时，PM+PQ+QN的最小值为3
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、勾股定理及根据两点间线段最短得到点P、Q的位置．