根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据（如下表），确定人口指数增长模型和Logistic模型中的待定参数，估计出美国2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。
表1 美国人口统计数据 年 份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 人口(×3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 106) 年 份 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 人口(×31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.106) 5 年 份 1930 1940 1950 1960 1970 1980 人口(×123.131.150.179.204.226. 610) 2 7 7 3 0 5 提示： rtx(t)?xe 0指数增长模型：
Logistic模型：x?t??xm?x?1??m?1?e?rt?x0?
解：模型一:指数增长模型。Malthus 模型的基本假设下，人口的增长率为常数，记为r，记时刻t的人口为 x(t)，（即x(t)为模型的状态变量）且初始时刻的人
?dx??rx口为x0，因为?dt由假设可知x(t)?x0ert 经拟合得到：
??x(0)?x0x(t)?x0ert?lnx(t)?lnx0?rty?lnx(t),a1?r,a2?lnx0??y?a1t?a2 a2r?a1,x0?e程序：
t=1790:10:1980;
x(t)=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5
123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 ]; y=log(x(t));a=polyfit(t,y,1) r=a(1),x0=exp(a(2)) x1=x0.*exp(r.*t);
plot(t,x(t),'r',t,x1,'b') 结果：a = 0.0214 -36.6198
r= 0.0214
x0= 1.2480e-016 所以得到人口关于时间的函数为：x(t)?x0e0.0214t，其中x0 = 1.2480e-016， 输入：t=2010;
x0 = 1.2480e-016; x(t)=x0*exp(0.0214*t)
得到x(t)= 598.3529。即在此模型下到2010年人口大约为598.3529 ?106。
35030025020015010050017801800182018401860188019001920194019601980
模型二：阻滞增长模型（或 Logistic 模型） 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为 x 的减函数，如设r(x)?r(1?x/xm)，其中 r 为固有增长率 (x 很小时 ) ，xm为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）， 于是得到如下微分方程：
x?dx?rx(1?)?xm ?dt?x(0)?x0?建立函数文件curvefit_fun2.m
function f=curvefit_fun2 (a,t)
f=a(1)./(1+(a(1)/3.9-1)*exp(-a(2)*(t-1790))); 在命令文件main.m中调用函数文件curvefit_fun2.m % 定义向量（数组） x=1790:10:1990;
y=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 ... 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4]; plot(x,y,'*',x,y); % 画点，并且画一直线把各点连起来 hold on;
a0=[0.001,1]; % 初值
% 最重要的函数，第1个参数是函数名（一个同名的m文件定义），第2个参数是初值，第3、4个参数是已知数据点 a=lsqcurvefit('curvefit_fun2',a0,x,y); disp(['a=' num2str(a)]); % 显示结果 % 画图检验结果 xi=1790:5:2020;
yi=curvefit_fun2(a,xi); plot(xi,yi,'r'); % 预测2010年的数据 x1=2010;
y1=curvefit_fun2(a,x1) hold off 运行结果：
a=311.9531 0.02798178 y1 =267.1947
其中a(1)、a(2)分别表示x?t??xm?x?1??m?1?e?rt?x0?中的xm和r，y1则是对美国美
国2010年的人口的估计。
3002502001501005001750180018501900195020002050
第二题：
问题重述：
一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给与鼓励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量
的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：
身长36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1 (cm) 重量765 482 1162 737 482 1389 652 454 (g) 胸围24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6 (cm) 问题分析：
鲈鱼的体重主要与鱼的身长、胸围有关系。一般来说，鲈鱼的胸围越大，鱼的体重会越重，身长越长，体重也越重。但鱼的胸围与身长之间又有些必然的联系，共同影响鱼的体重。建模的目的是寻求鲈鱼体重与身长、胸围之间的数量规律
模型假设：
1、鲈鱼的身长越长体重越重，体重与身长存在正相关关系； 2、鲈鱼的胸围越大体重也越重，体重与胸围存在正相关的关系； 3、鲈鱼的胸围、身长互相影响，共同作用鲈鱼的体重； 4、鲈鱼的形态近似为与胸围等周长与身长等高的圆柱体。 符号说明：
L C W 鲈鱼的身长 鲈鱼的胸围 鲈鱼的体重 模型的建立及求解：
（一）、鲈鱼体重与身长模型的确立
为了研究鲈鱼身长与体重的关系，我们利用已测量的数据，取出身长及体重的数据，利用MATLAB软件画出散点图，如下：
身长与体重散点图14001300120011001000体重9008007006005004003032343638身长40424446
从图形上看，鲈鱼的体重与身长可能是二次函数关系，我们利用多项式拟合的方法，得到：
W?1.6247*L2-59.3124*L +709.7392
(1)
根据拟合的函数，我们画出拟合图：
身长与体重拟合图2000180016001400120010008006004002003032343638404244464850
从拟合图上看，大部分原始数据在拟合函数附近，说明用二次函数拟合的效果较好，下面利用得出的函数对鱼的体重进行估计，用相对误差检验拟合度，得到下表：
表一、鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表