2013年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置．．．上.
（1）设cosx?1?xsin?(x)，其中?(x)??2，则当x?0时，?(x)是
（ ）
（A）比x高阶的无穷小 （B）比x低阶的无穷小 （C）与x同阶但不等价的无穷小 （D）与x等价的无穷小 （2）设函数y?f(x)由方程cosx(y?)yl?nx?确定，则
?2limn?f(?n???n?)?（1 ） ??x?sinx,0?x??，F(x)??f(t)dt，则（ ）
0??x?2??2,（A）2 （B）1 （C）?1 （D）?2 （3）设函数f(x)=?（A）x?? 是函数F(x)的跳跃间断点 （B）x?? 是函数
F(x)的可去间断点
（C）F(x)在x??处连续但不可导 （D）F(x)在x??处可导
1?,1?x?e????(x?1)??1（4）设函数f(x)=?，若反常积分?f(x)dx收敛，
11?,x?e??xln??1x则（ ）
（A）???2 （B）??2 （C）?2???0 （D）0???2
（5）设z?x?z?zyf(xy)，其中函数f可微，则??（ ） xy?x?y22f(xy) （D）?f(xy) xx（A）2yf?(xy) （B）?2yf?(xy) （C）
22（6）设Dk是圆域D?(x,y)|x?y?1在第k象限的部分，记
??Ik???(y?x)dxdy(k?1,2,3,4)，则（ ）
Dk（A）I1?0 （B）I2?0 （C）I3?0 （D）I4?0 （7）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若AB?C,则B可逆，则 （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价
?1a1??200?????
（8）矩阵?aba?与?0b0?相似的充分必要条件为
?1a1??000?
????
（A）a?0,b?2 （B）a?0,b为任意常数 （C）a?2,b?0
（D）a?2,b为任意常数
二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定．．．位置上.
ln(1?x)1)x? ． (9) lim(2?x??x(10) 设函数f(x)??x?1t1?edt，则y?f(x)的反函数x?f?1(y)在
y?0处的导数
dxdyy?0? ．
(11)设封闭曲线L的极坐标方程为r?cos3?(?的平面图形的面积为 ．
?6????6)，则L所围成
??x?arcttan(12)曲线?上对应于t?1的点处的法线方程
21t??y?ln?为 ．
(13)已知y1?e3x?xe2x，y2?ex?xe2x，y3??xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件yx?0?0y?x?0?1的解为
y? ．
（14）设A?(aij)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij?Aij?0(i,j?1,2,3),则A?____
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答．．．应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
当x?0时，1?cosx?cos2x?cos3x与ax为等价无穷小，求n与a的值。 （16）（本题满分10分）
设D是由曲线y?x，直线x?a(a?0)及x轴所围成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy?10Vx，求a的值。
（17）（本题满分10分）
设平面内区域D由直线x?3y,y?3x及x?y?8围成.计算（18）（本题满分10分）
设奇函数f(x)在[?1,1]上具有二阶导数，且f(1)?1.证明：
2x??dxdy。 D13n
（I）存在??，使得（0,）1，使得f?(?)?1；（II）存在??（0,1）f??(?)?f?(?)?1。
（19）（本题满分11分）
求曲线x3?xy?y3?1(x?0,y?0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。 （20）（本题满分11分） 设函数f(x)?lnx?1， x（I）求f(x)的最小值 （II）设数列{xn}满足lnxn?（21）（本题满分11分） 设曲线L的方程为y?（1）求L的弧长；
（2）设D是由曲线L，直线x?1,x?e及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标。 （22）（本题满分11分） 设A??1?1，证明limxn存在，并求此极限.
n??xn121x?lnx42(1?x?e)，
?1a??01?,B????，当a,b为何值时，存在矩阵C使得101b????C。 B，并求所有矩阵
（23）（本题满分11分）
AC?CA?设二次型f?x1,x2,x3??2?a1x1?a2x2?a3x3???b1x1?b2x2?b3x3?，记
22?a1??b1???????a,???2??b2?。
?a??b??3??3?（I）证明二次型f对应的矩阵为2?T???T?；
（II）若?,?正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为
22二次型2y1。 ?y2
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
答案
一、选择题:1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置．．．上.
(1) 设cosx?1?xsin?(x)，其中?(x)??2，则当x?0时，?(x)是
( )
(A) 比x高阶的无穷小 (B) 比x低阶的无穷小 (C) 与x同阶但不等价的无穷小 (D) 与x等价的无穷小 【答案】(C)
1cosx?1?x?sin?(x)，cosx?1~?x2
211?x?sin?(x)~?x2 ?sin?x()?~x
221又sin?(x)~?(x) ??(x)~?x
2??(x)与x同阶但不等价的无穷小. 所以选（C）.
【解析】
sy(?)(2) 设函数y?f(x)由方程cox2limn[f()?1]? ( ) n??ny?lnx?确定，则
（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2 【答案】（A）
【解析】因为x?0时，y?1即f(0)?1.