其中D为x?1,x?e,x轴以及所围成的图形. (22)(本题满分11 分)
设A????1a??01???，B???1b??，当a,b为何值时，存在矩阵C，使得10????AC?CA?B，并求所有 矩阵C.
【解析】设
?xC??1?x3x2??，由于x4?AC??CA，故
?1a??x1???10???x3?01????， ?1b?即?x2??x1???x4??x3x2??1a???? x4??10??x1?ax3?x1x2?ax4??x1?x2???x2??x3?x4ax1??01?????. ax3??1b???x2?ax3?0??ax?x?ax?1?124 (I) ??x1?x3?x4?1??x2?ax3?b由于矩阵C存在，故方程组(I)有解.对(I)的增广矩阵进行初等行变换：
?0?1a0???a10a?10?1?1??01?a0?1?0???0??00?1?11?a00000000??1??1??0?1??0??b??01??0? a?1??b?0?1?11?a01?a00001??0?a?1??b?方程组有解，故a?1?0，b?0，即a??1,b?0.
?1?0当a??1,b?0时，增广矩阵变为??0??00?1?11100000001??0? ?0?0?x3,x4为自由变量，令x3?1,x4?0，代为相应的齐次方程组，得x2??1,x1?1.
令x3?0,x4?1，代为相应齐次方程组，得x2?0,x1?1. 故?1??1,?1,1,0?，?2??1,0,0,1?，令x3?0,x4?0，得特解，
TT
???1,0,0,0?，方程组的通解为x?k1?1+k2?2+?=(k1+k2+1,-k1,k1,k2)T，
所以C??T?k1?k2?1?k1??，其中k1,k2为任意常数.
k1k2??(23)(本题满分11 分)
设二次型f(x1,x2,x3)?2(a1x1?a2x2?a3x3)2?(b1x1?b2x2?b3x3)2.记
?a1??b1????????a2?,???b2?.
?a??b??3??3?TT(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2?????；
(Ⅱ)若?，?正交且均为单位向量.证明f在正交变换下的标准型为
2. 2y12?y2【解析】证明：
(I)f(x1,x2,x3)?2(a1x1?a2x2?a3x3)2?(b1x1?b2x2?b3x3)2
?a1??x1????? ?2(x1,x2,x3)?a2?(a1,a2,a3)?x2?
?a??x??3??3??b1??x1????? ?(x1,x2,x3)?b2?(b1,b2,b3)?x2?
?b??x??3??3??x1??TT? ?(x1,x2,x3)?2???????x2? ?x??3? ?xAx，其中A?2??T???T. 由于AT?(2??T???T)T?2??T???T?A,所以二次型f对应的矩阵为2??T???T.
(II)由于A?2??T???T，?与?正交，故?T??0，?，?为单位向量
，
故
T???T??1，故
?T??1，同样
?T??1.A??(2??T???T)??2??T????T??2?，由于??0，
TT故A有特征值?1?2.A??(2?????)???，由于??0，故A有特
征值?2?1.
r(A)?r(2??T???T)?r(2??T)?r(??T)?r(??T)?r(??T)1?1?2?3.
所以A?0，故?3?0.
22因此f在正交变换下的标准型为2y1?y2.