2.3 幂函数
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x，y=x，y=x，y=x的图象.（2）结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质.2．过程与方法
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12（1）通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力.（2）使学生进一步体会数形结合的思想.3. 情感、态度、价值观
（1）通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣.
（2）利用计算机，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望.（二）教学重点、难点
重点：常见幂函数的概念、图象和性质.
难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小.（三）教学方法
采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性.
利用实物投影仪及计算机辅助教学.（四）教学过程
教学教学内容 师生互动 设计意图 用心 爱心 专心 1
环节 复习 （多媒体显示以下5个问题，同时附学生阅读、思考、交流、口答，教培养学生的观察、归纳、概括能注相关图象，每个问题的结论由学生说出，师板演．引入 然后再在多面体屏幕上弹出）师：观察上述例子中函数模型，这几个函数表达式有什么共同特征？问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p=w元，这里p是w的函数.生：解析式的右边都是指数式，且底数都是变量. 变量在底数位置，解析式右边又都是幂的形式，我们把这种函数叫做幂函数.问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a，这里S是a的函数.2问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V=a，这里V是a的函数.3（引入新课，书写课题） 力， 问题4：如果正方形场地的面积为S，12那么正方形的边长a=S，这里a是S的函数.问题5：如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v=t km/s，这里v是t的函数. 形成－1幂函数的定义师：请同学们举出几个具体的?理解幂一般地，形如y?x（x?R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，?是常数. 幂函数.概念生：如y?x,y?x,y?x213?14等都函数的定义.是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 用心 爱心 专心 2
深化1.研究幂函数的图像引导学生用列表描点法，应用函数（1）y?x 12的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑概念（2）y?x （3）y?x2 软件画出以上五个数数的图像. （4）y?x （5）y?x3?1y?x 4y?x2122.通过观察图像，填P86探究中的表格 定义域 奇偶性 在第Ⅰ象限单调增减性 定点 -5510y=x3 y=x-1 15-20 探究幂函y?x R 奇 在第Ⅰ象限单调递增 （1，1） y?x -42R -6奇 在第Ⅰ象限单调递-8让学生通过观察图像，分组讨论，数的-10探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研增 究指数函数，对函数的方法研究幂（1，1） 函数的性质. 性质和图像的变化规律， y?x3 R 奇 在第Ⅰ象限单调递增 （1，1） y?x 12y?x?1 ?x|x?0? ?x|x?0? 非奇非偶 在第Ⅰ象限单调递增 （1，1） 奇 在第Ⅰ象限单调递减 （1，1） 用心 爱心 专心 3
3.幂函数性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：1x?1）； （2）x＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）. 特别地，当x＞1，x＞1时，x∈（0，1），y?x2的图象都在y?x图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？） 当0<α＜1时，x∈（0，1），y?x?的图象都在y?x的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？） （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴. 应用 例1 求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性.25例1分析：解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考掌握幂函数知举例 （1）y=x；（2）y=x?34；（3）y=x.－2虑，列出相应不等式（组），解不等式用心 爱心 专心 4
（组）即可得到所求函数的定义域. 识的应用. ①若函数解析式中含有分母，分母不能为0； ②若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负； ③0的0次幂没有意义； ④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0. （2）函数y=x 解：（1）函数y=x，即y=5x2，其定义域为R，是偶函数，它在［0，+∞）上单调递增，在（－∞，0］上单调递减. ?3425，即y=14x3，其定义域为（0，+∞），它既不是奇函数，也不是偶函数，它在（0，+∞）上单调递减. （3）函数y=x，即y=－21x2，其定 义域为（－∞，0）∪（0，+∞），是偶函数.它在区间（－∞，0）和（0，+∞）例2 证明幂函数f（x）=x在［0，+∞）上都单调递减. 上是增函数. 请同学们回顾一下如何证明一个函数是增函数，然后请一个学生作答，师板书. 例2证明：设0≤x1＜x2， 则f（x1）－f（x2） 用心 爱心 专心 5