2016年广东省广州市五校联考高三理科下学期数学联考试卷
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 已知集合 ??= 0,1,2 ，??= 1,?? ．若 ??∩??=??，则实数 ?? 的值是 ??
A. 0
B. 2
C. 0 或 2
D. 0 或 1 或 2
2. 在复平面内，复数 2?i 2 对应的点位于 ??
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列 5 个图形： 其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是 ??
A. 5
??2
??2
B. 4 C. 3 D. 2
4. 已知双曲线 ??：??2???2=1 ??>0,??>0 的焦距为 10，点 ?? 2,1 在 ?? 的一条渐近线上，则 ?? 的方程为 ??
A.
??220
?
??25
=1 B.
??25
?
??220
=1 C.
??280
?
??220
=1 D.
??220
?
??280
=1
5. 已知函数 ?? ?? =??2?2??+??，在区间 ?2,4 上随机取一个实数 ??，若事件“?? ?? <0”发生的概率为 3，则 ?? 的值为 ??
2
A. 2 B. ?2 C. 3 D. ?3
??≥0,
则 ??=???1 的取值范围是 ?? 6. 已知实数 ??，?? 满足约束条件 ?????≥0, ??+1
2??????2≥0,
A. ?1,3
1
B. ?2,3
π
π
11
C. ?2,+∞
1
D. ?2,1
1
7. 函数 ?? ?? =2sin ????+?? ??>0,?2
A. 2;?3
π
B. 2;?6
95
π
C. 4;?6
π
D. 4;3 π
8. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是 ，则 ??
第1页（共12页）
A. ??=4 B. ??=5 C. ??=6
????+1????
D. ??=7
．若 ??10??11=2，则 ??21=
D. 212
9. 已知数列 ???? 的首项 ??1=2，数列 ???? 为等比数列，且 ????= ?? A. 29
B. 210
C. 211
10. 设点 ??，??，?? 为球 ?? 的球面上三点，?? 为球心．球 ?? 的表面积为 100π，且 △?????? 是边长为
4 3 的正三角形，则三棱锥 ????????? 的体积为 ?? A. 12
B. 12 3 C. 24 3 ????
，?? ∣∣????
D. 36 3 =
????
，???? ∣∣????
11. 已知 Rt△?????? 的面积为 1，?? 为直角顶点，设向量 ?? =
????? 的最大值为 ?? ????
A. 1
B. 2
C. 3
，则 =?? +2??
D. 4
12. 定义在 ?? 上的函数 ?? ?? 满足：?? ?? +??? ?? >1，?? 0 =4，则不等式 e???? ?? >e??+3（其中 e
为自然对数的底数）的解集为 ?? A. 0,+∞
B. ?∞,0 ∪ 3,+∞ D. 3,+∞
C. ?∞,0 ∪ 0,+∞
二、填空题（共4小题；共20分）
2
??6
13. 若 ????+?? 的展开式中 ??3 项的系数为 20，则 log2??+log2??= ． 14. 函数 ?? ?? =4cos??sin ??+6 ?1 ??∈?? 的最大值为 ．
???2?2??,??≥015. 已知函数 ?? ?? = 2，若 ?? 3???2
???2??,??<016. 在 △?????? 中，sin ????? =1，sin??=，则 sin??= ．
13
π
三、解答题（共8小题；共104分）
17. 已知等差数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，且 ??3+??6=4，??5=?5．
第2页（共12页）
（1）求数列 ???? 的通项公式；
（2）若 ????=∣??1∣+∣??2∣+∣??3∣+?+∣????∣，求 ??5 的值和 ???? 的表达式．
18. PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国 PM2.5 标准
采用世卫组织设定的最宽限值．即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方米 ?75 微克/立方米之间空气质量为二级；在 75 微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区今年 9 月每天的 PM2.5 检测数据中，按系统抽样方法抽取了某 6 天的数据作为样本，其监测值如茎叶图所示．
（1）根据样本数据估计今年 9 月份该市区每天 PM2.5 的平均值和方差；
（2）从所抽样的 6 天中任意抽取 3 天，记 ?? 表示抽取的 3 天中空气质量为二级的天数，求 ?? 的
分布列和数学期望．
19. 如图，在三棱柱 ?????????1??1??1 中，△?????? 是边长为 2 的等边三角形，????1⊥平面??????，点 ?? 是
???? 的中点，????∥平面??1????．
（1）求证：点 ?? 是 ????1 的中点；
（2）若 ??1??⊥????，求平面 ??1???? 与平面 ?????? 所成二面角（锐角）的余弦值． 20. 已知椭圆 ??:??2+??2=1 ??>??>0 的右焦点 ?? 1,0 ，且经过点 ?? 2,
（1）求椭圆 ?? 的方程；
（2）若直线 ?? 与椭圆 ?? 相切，过 ?? 作 ????⊥??，垂足为 ??，求证：∣????∣ 为定值（其中 ?? 为坐标
原点）．
21. 已知函数 ?? ?? =3??3?2????2?3?? ??∈??
（1）当 ??=0 时，求曲线 ??=?? ?? 在点 3,?? 3 处的切线方程；
（2）当 ??>0 时，试讨论函数 ??=?? ?? 在区间 ?1,1 内的极值点的个数；
（3）对一切 ??∈ 0,+∞ ，????? ?? +4??2??≥ln???3???1 恒成立，求实数 ?? 的取值范围． 的中点，?? 为弦 ???? 的中点． 22. 如图所示，???? 为 ⊙?? 的直径，?? 为圆弧 ????
2
??2
??2
13 5 ． 4
第3页（共12页）
（1）求证：????∥????；
（2）求证：?????????=2?????????．
??=cos??,
23. 在直角坐标系 ?????? 中，已知曲线 ??1: ??=sin2??（?? 为参数），在以 ?? 为极点，?? 轴正半轴为极
轴的极坐标系中，曲线 ??2:??cos ??? =?
4
π
2，曲线 ??3:??2
=2sin??．
（1）求曲线 ??1 与 ??2 的交点 ?? 的直角坐标；
（2）设点 ??，?? 分别为曲线 ??2，??3 上的动点，求 ∣????∣ 的最小值． 24. 已知 ?? ?? =∣?????4∣?∣????+8∣，??∈??．
（1）当 ??=2 时，解不等式 ?? ?? <2； （2）若 ?? ?? ≤?? 恒成立，求 ?? 的取值范围．
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答案
第一部分 1. C 2. D 3. B 4. A
2
1
【解析】因为 ??∩??=??，所以 ?????，所以 ??=0 或 ??=2． 【解析】因为 2?i 2=3?4i，
【解析】由题知可以作为该几何体的俯视图的图形有①②③⑤． 【解析】因为 2??=10，
??
????
所以对应的点为 3,?4 ，位于第四象限．
所以 ??=5．双曲线 ?? 的渐近线方程为 ??±
??
??
??2
??25
=0，
由 ?=0，且 ??2+??2=25，得 ??=2 5，??= 5． 故双曲线 ?? 的方程为 20?5. D
=1．
【解析】设不等式 ?? ?? ＜0 的解 ??1＜??＜??2， 因为区间 ?2,4 的长为 6， 则
∣??1???2∣6
=，即 ∣??1???2∣=4．
3
2
又函数 ?? ?? 的图象关于直线 ??=1 对称， 则 ??1=?1，??2=3，所以 ??=??1??2=?3． 6. D
【解析】由题知可行域如图阴影部分所示，
所以 ??=??+1 的取值范围为 ??????,1 ，即 ?2,1 ． 7. A
8. A
53
???11
【解析】由程序框图，得 ??=1，??=1；??=1+
13×4
11×2
=，??=2；??=+
2
2
3312×3
=，
3
5
??=3；??=+=，??=4；??=+
4
4
7714×5??
=，??=5．
5??
??
??21??1
9
根据选项得 ??=4． 9. C
【解析】由已知，得 ??1??2???20=??2???3?????21=
1
2
20
=
??212
．因为 ???? 为等比数列，所以
??1??2???20= ??10??11 10=210，所以 ??21=2??1??2???20=211． 10. B
【解析】因为球 ?? 的表面积为 100π=4π??2， 所以球 ?? 的半径为 5．
如图，取 △?????? 的中心 ??，连接 ????，连接并延长 ???? 交 ???? 于点 ??，
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