4 3则 ????= 4 3 ? =6，
2
2
2????=3????=4，
所以 ????= ????2?????2= 52?42=3， 所以三棱锥 ????????? 的体积 ??=3×
1
34
2
× 4 3 ×3=12 3．
2
????? =0， 11. A 【解析】依题意，????⊥????，所以 ????
1
∣∣???? ∣=2． 又 ∣ ????∣?∣ ????∣=1，所以 ∣????2
????? = ????+2???? ????? =2∣ ????? = ????+2???? ? 2= ????+因为 ????????∣，????????=∣????∣，???? ∣????∣
∣????∣
∣????∣
∣????∣
∣????∣
22 ????
∣∣????
=
2????
∣2∣????
+
24????????4 ????
?+ ∣∣???? ∣ ∣2∣????∣????
=5，
所以
????? ????? ? ???? ????? = ????????
????? ? ???? ? ????? +???? 2=????????+????
∣ =5? 2∣ ????∣+∣????≤5?2 2∣ ????∣∣ ????∣
=5?4=1.
12. A 【解析】设 ?? ?? =e???? ?? ?e?? ??∈?? ， 则 ??? ?? =e???? ?? +e????? ?? ?e??=e?? ?? ?? +??? ?? ?1 ， 因为 ?? ?? +??? ?? >1， 所以 ?? ?? +??? ?? ?1>0， 所以 ??? ?? >0，
所以 ??=?? ?? 在定义域上单调递增， 因为 e???? ?? >e??+3， 所以 ?? ?? >3，
又因为 ?? 0 =e0?? 0 ?e0=4?1=3， 所以 ?? ?? >?? 0 ， 所以 ??>0． 第二部分 13. 0
第6页（共12页）
??6?????12?3??
【解析】 ????+?? 的展开式的通项为 ????+1=C6??????，
2
??6
令 12?3??=3，得 ??=3，
333所以 ????+ 的展开式中 ??3 项的系数为 C6????=20，
??
2
??6
所以 ????=1，
所以 log2??+log2??=log2????=log21=0． 14. 2 【解析】因为
π
?? ?? =4cos??sin ??+ ?1
61 3=4cos?? sin??+cos?? ?1
22=2 3sin??cos??+2cos???1
= 3sin2??+cos2??
π
=2sin 2??+ ,
6所以 ?? ?? max=2． 15. ?3,1
【解析】如图，画出 ?? ?? 的图象，
2
由图象易得 ?? ?? 在 ?? 上单调递减， 因为 ?? 3???2 2??， 解得 ?3
4242则 sin2??=
1?sin??2 3． 3π
??
π
??
?? 2cos22
1
π
?? 2sin， 22
3?
=3，
1
所以 sin??= 第三部分
第7页（共12页）
17. （1） 由题知
2??1+7??=4,5??1+
5×42
??=?5,
??=?5,解得 1
??=2,
故 ????=2???7 ??∈??? .
（2） 由 ????=2???7<0，得 ??<2，即 ??≤3，
所以当 ??≤3 时，????=2???7<0，当 ??≥4 时，????=2???7>0． 易知 ????=??2?6??，??3=?9，??5=?5， 所以
??5
=? ??1+??2+??3 +??4+??5=???3+ ??5???3
=??5?2??3=13.
7
当 ??≤3 时，????=?????=6?????2；
当 ??≥4 时，????=???3+ ???????3 =?????2??3=??2?6??+18． 6?????2,??≤3故 ????= 2．
???6??+18,??≥418. （1） ??=
??2
=
26+30+36+44+50+60
6
=41，
1
× 26?41 2+ 30?41 2+ 36?41 2+ 44?41 2+ 50?41 2+ 60?41 2 6=137.
根据样本估计今年 9 月份该市区每天 PM2.5 的平均值为 41，方差为 137．
（2） 由茎叶图知，所抽样的 6 天中有 2 天空气质量为一级，有 4 天空气质量为二级，则 ?? 可能取的值为 1，2，3，其中， ?? ??=1 =?? ??=2 =?? ??=3 =
2C14?C2
C36C36C36
=5， =，
513
1
1C24?C20C34?C2
=5．
????
123131
131?? ?? =1×+2×+3×=2
555555所以 ?? 的分布列为：
，
所以 ?? 的数学期望为 2．
19. （1） 取 ??1??1 的中点 ??，连接 ????1，????，设 ????∩??1??=??，连接 ????，如图 1．
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由作图过程易得：四边形 ????????1 为平行四边形，????∥????1． 在 △????1?? 中，点 ?? 是 ???? 的中点，
所以点 ?? 是 ??1?? 的中点，????=2????1=2????1．
又 ????∥平面??1????，?????平面??????1??，且 平面??????1??∩平面??1????=????， 所以 ????∥????， 又因为 ????∥????，
所以四边形 ???????? 为平行四边形，????=????=????1，
21
1
1
所以点 ?? 是 ????1 的中点． （2） 由（1）知 ????∥????1， 因为 ????1⊥平面??????， 所以 ????⊥平面??????，
又 △?????? 是边长为 2 的等边三角形，点 ?? 是 ???? 的中点， 所以 ????⊥???? 且 ????= 3．
如图 2，建立空间直角坐标系 ?????????，设 ????=2??，
1 = 1, 3,??? ， = ?1, 3,?? ，则 ?? 1,0,0 ，?? 0, 3,0 ，?? 0,0,2?? ，??1 ?1,0,2?? ，?? 0, 3,?? ， ???????? ????1= ?2,0,2?? ，由 ??1??⊥???? 可知：??1???????=0???= 2． 由 ??轴⊥平面?????? 可得：平面 ?????? 的一个法向量为 ?? = 0,0,1 ． 设平面 ??1???? 的法向量为 ?? = ??,??,?? ， 由
?2??+2 2??=0,???? =0,1??? 得
??????+ 3??+ 2??=0,???? =0,
??? ??
3， 3
3令 ??= 2，则 ?? = 2,0,1 ， 所以 cos=∣??=∣?? ∣?∣ ∣
∣∣
∣
所以平面 ??1???? 与平面 ?????? 所成二面角（锐角）的余弦值为 3．
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