利用基本不等式求最值的技巧
基本不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的功能，但一定要注意应用的前提：“一正”、“二定”、“三相等”．所谓“一正”是指“正数”，“二定”指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．
22 在运用基本不等式a?b?2ab与ab?a?b或其变式解题时,要注意如下技巧 21：配系数
【例1】已知0?x? 2:添加项 【例2】已知x? 3:分拆项
3，求y?x(3?2x)的最大值. 232，求y?x?的最小值. 22x?3x2?3x?6【例3】已知x?2，求y?的最小值.
x?2
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4:巧用”1”代换
【例4】已知正数x,y满足2x?y?1,求
12?的最小值. xy
一般地有,(ax?by)(?cxd)?(ac?bd)2,其中x,y,a,b,c,d都是正数.这里巧妙y地利用”1”作出了整体换元,从而使问题获得巧解. 【例5】已知正数x,y,z满足x?y?z?1，求
149??的最小值. xyz 5:换元
【例6】已知a?b?c,求w?
【例7】已知x??1,求y?
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a?ca?c?的最小值. a?bb?cx?1的最大值.
x2?5x?8
6:利用对称性
【例8】已知正数x,y,z满足x?y?z?1，求2x?1?2y?1?2z?1的最大值. 【分析】由于条件式x?y?z?1与结论式
2x?1?2y?1?2z?1都是关于正数
1时取到,这时3x,y,z轮换对称的,故最大值必然是当x?y?z?2x?1?2y?1?2z?1?5,从而得到下面证明思路与方向 355?2x?1?, 33【解】利用基本不等式2ab?a?b得2(2x?1)?2(2y?1)?5555?2y?1?,2(2z?1)??2z?1?,以上三式同向相加得33332(2x?1?2y?1?2z?1)53?2(x?y?z)?3?5?10,所以化简得
1时32x?1?2y?1?2z?1?15,所以当且仅当x?y?z?2x?1?2y?1?2z?1取到最大值15.
一般地,如果条件式与结论式都是关于各个元素轮换对称的,则最值必定是在各个元素相等时取到.利用这一思想往往可给解题者提供解题的方向与思路.
7:直接运用化为其它
【例9】已知正数a,b满足ab?a?b?3,求ab的取值范围.
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含参不等式的解法举例
当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。 一、含参数的一元二次不等式的解法：
例1：解关于的x不等式(m?1)x2?4x?1?0(m?R)
分析：当m+1=0时,它是一个关于x的一元一次不等式；当m+1?1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m）>0，图象开口向下，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。⑵当－1
4x2?4x?1?0的根。⑷当m>3时，⊿=4（3－m）<0,图象开口向上全部在x轴的上方，
不等式的解集为?。
解：当m??1时,原不等式的解集为?x|x??;
??1?4?当m??1时，(m?1)x2?4x?1?0的判别式?＝（43－m);?2?3?m2?3?m? 则当m??1时，原不等式的解集为x|x?或x???m?1m?1???2?3?m2?3?m?当?1?m?3时,原不等式的解集为x|?x???m?1m?1??当m=3时，原不等式的解集为?x|x?当m>3时, 原不等式的解集为?。
??1??； 2?小结：⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。⑵利用函数图象必须明确：①图象开口方向，②判别式确定解的存在范围，③两根大小。⑶二次项的取值（如取0、取正值、取负值）对不等式实际解的影响。
牛刀小试：解关于x的不等式ax?2(a?1)x?4?0,(a?0)
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思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完成。
二、含参数的分式不等式的解法： 例2：解关于x的不等式
ax?1?0
x2?x?2分析：解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对ax－1中的a进行分类讨论求解，还需用到序轴标根法。
解：原不等式等价于(ax?1)(x?2)(x?1)?0
当a=0时，原不等式等价于(x?2)(x?1)?0
解得?1?x?2，此时原不等式得解集为{x|?1?x?2}； 当a>0时, 原不等式等价于(x?1)(x?2)(x?1)?0, a1则：当a?时,原不等式的解集为?x|x??1且x?2?；
211?当0
1，－1和2的大小进行比较再a结合系轴标根法写出各种情况下的解集。⑵解含参数不等式时，一要考虑参数总的取值范围，二要用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏，三要使划分后的不等式的解集的表达式是确定的。⑶对任何分式不等式都是通过移项、通分等一系列手段，把不等号一边化为0，再转化为乘积不等式来解决。
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