a3?2a2?5a?1例3、已知a是一元二次方程x?3x?1?0的一根，求的值。 2a?12例4、用两种不同的方法解方程组
?2x?y?6,?22?x?5xy?6y?0.(1)(2)
说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再 消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已 知的问题.
考点四、根的判别式b?4ac 根的判别式的作用： ①定根的个数； ②求待定系数的值； ③应用于其它。 典型例题： 例1、若关于x的方程x?2kx?1?0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。 例2、关于x的方程?m?1?x2?2mx?m?0有实数根，则m的取值范围是( ) A.m?0且m?1 B.m?0 C.m?1 D.m?1 例3、已知关于x的方程x2??k?2?x?2k?0
(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰?ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求?ABC的周长。
例4、已知二次三项式9x?(m?6)x?m?2是一个完全平方式，试求m的值.
222?x2?2y2?6,例5、m为何值时，方程组?有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？
mx?y?3.?针对练习： ★1、当k 时，关于x的二次三项式x?kx?9是完全平方式。
★2、当k取何值时，多项式3x?4x?2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？ ★3、已知方程mx?mx?2?0有两个不相等的实数根，则m的值是 . ★★4、k为何值时，方程组?222?y?kx?2,?y?4x?2y?1?0.2
（1）有两组相等的实数解，并求此解；
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（2）有两组不相等的实数解； （3）没有实数解.
★ ★★5、当k取何值时，方程x?4mx?4x?3m?2m?4k?0的根与m均为有理数？ 考点五、方程类问题中的“分类讨论” 典型例题： 例1、关于x的方程?m?1?x2?2mx?3?0 ⑴有两个实数根，则m为 , ⑵只有一个根，则m为 。
例2、 不解方程，判断关于x的方程x2?2?x?k??k2??3根的情况。
例3、如果关于x的方程x?kx?2?0及方程x?x?2k?0均有实数根，问这两方程
是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。 考点六、应用解答题 ⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题； ⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题 典型例题： 1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？
2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？
3、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答： （1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元， 销售单价应定为多少？
4、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。 （1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？ （2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不 能，请说明理由。
（3）两个正方形的面积之和最小为多少？ 考点七、根与系数的关系 2222 12
2⑴前提：对于ax?bx?c?0而言，当满足①a?0、②??0时，
才能用韦达定理。 ⑵主要内容：x1?x2??bc,x1x2? aa⑶应用：整体代入求值。
典型例题： 例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x?8x?7?0的两根，则这个直角三 角形的斜边是（ ）
A.3 B.3 C.6 D.6
2例2、已知关于x的方程k2x2??2k?1?x?1?0有两个不相等的实数根x1,x2，
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不 存在，请说明理由。
例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错 常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道 原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？
22例4、已知a?b，a?2a?1?0，b?2b?1?0，求a?b?
变式：若a?2a?1?0，b?2b?1?0，则
222ab?的值为 。 ba4例5、已知?,?是方程x?x?1?0的两个根，那么??3?? . 针对练习： 1、解方程组??x?y?3,22(1)?x?y?5(2)2
2．已知a?7a??4，b?7b??4(a?b)，求
2ba的值。 ?ab3、已知x1,x2是方程x?x?9?0的两实数根，求x1?7x2?3x2?66的值。
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