义务教育基础课程小学教学资料
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第十二讲 牛吃草问题（一）
知识说明
英国伟大的科学家牛顿，曾经写过一本数学书。书中有一道非常有名的、关于牛在牧场上吃草的题目，后来人们就把这类题目称为“牛顿问题”，也就是我们今天要学的牛吃草问题。牛吃草问题实际上是在教我们一种分析题的思想，这种题的类型和解题思想是小升初的考试热点，所以我们安排了两讲来讲
祝福您及家人身体健康、万事如意、阖家欢乐！祝福同学们快乐成长，能够取得好成绩，为祖国奉献力量祝福您及家人身体健康、万事如意、阖家欢乐！祝福同学们快乐成长，能够取得好成绩，为祖国奉献力量解“牛吃草”为的是让大家能把这块知识学透。
“牛顿问题”是这样的：“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。”分析本题就给了牛的头数，和吃草的时间。设想如果题目给我们操场原有的草量和草的生长速度那么题目就变得简单多了，所以需要我们通过设每头牛每天的吃草速度为“1”来求这两个量。
同一片牧场中的牛吃草问题，一般的解法可总结为：
1、 草的生长速度＝（对应牛的头数×较多天数－对应牛的头数×较少天数）÷（较多天数－较少天数） 2、 原来的草量＝对应牛的头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数 3、 吃的时间＝原来的草量÷（牛的头数－草的生长速度） 4、 牛的头数＝原来的草量÷吃的天数＋的生长速度
关于牛吃草这样的题有很多的变例，像抽水问题，超市开口人等待问题，扶梯行走，行程中的追及问题等等，所以不提倡大家生搬这个公来做题，要理解解题的思路和解题的目的，用画图或列表法来解题。才能做到举一反三。
想挑战吗？有一块1200平方米的牧场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天，另有一块3600平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都与第一块牧场相同，问这片牧场可供75头牛吃多少天？
分析：设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
10头牛 20天 10×20＝200 ：原有草量＋20天生长的草量 15头牛 10天 15×10＝150 ：原有草量＋10天生长的草量 从上易发现：1200平方米牧场上20－10＝10天生长草量＝200－150＝50，即1天生长草量＝50÷10＝5； 那么1200平方米牧场上原有草量：200－5×20＝100或150－5×10＝100。
则3600平方米的牧场1天生长草量＝5×（3600÷1200）＝15；原有草量：100×（3600÷1200）＝300.
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75头牛里，若有15头牛去吃每天生长的草，剩下60头牛需要300÷60＝5（天）可将原有草吃完，即它可供75头牛吃5天。
专题精讲
I. 有牛的牛吃草问题
思路：牛吃草关键是要求两个量：（1）草的生长速度（2）原有草量
【例1】 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长。这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。供25头牛可吃几天？
分析：（方法一）设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件将它们转化为如下形式方便分析（这种方法叫列表分析）
10头牛 20天 10×20＝200 ：原有草量＋20天生长的草量 15头牛 10天 15×10＝150 ：原有草量＋10天生长的草量
从上易发现：20－10＝10天生长的草量＝200－150＝50，即1天生长的草量＝50÷10＝5； 那么原有草量：200－5×20＝100或150－5×10＝100。
25头牛里，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要100÷20＝5（天）可将原有草吃完，即它可供25头牛吃5天。
（方法二）画图法：从右面的图可以看出：10头牛20天吃的总草量比15头牛10天吃的总草量多，多出部分相当于10天新生长出的草量。设1头牛1天吃1份草，则10头牛20天比15头牛10天多吃10?20?15?10?50（份），则这块牧场每天新长50?10?5（份）牧草。在第一种情况中，20天一共新长了5?20?100（份）牧草，而牛一共吃了10?20?200（份），说明原来有牧草200?100?100（份）。25头牛每天消耗25份牧草，不仅将新长的5份吃完，还将从原有的牧草中消耗掉25?5?20（份），那么原有牧草可维持100?20?5（天），即可供25头牛吃5天。
【巩固1】（三帆中学阶段测试）有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天.那么它可供几头牛吃20天?
分析：设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件将它们转化为如下形式方便分析
12头牛 25天 12×25＝300 ：原有草量＋25天生长的草量 24头牛 10天 24×10＝240 ：原有草量＋10天生长的草量
从上易发现： 25－10＝15天生长的草量＝300－240＝60，即1天生长的草量＝60÷15＝4； 那么原有草量：240－4×10＝200；
20天里，共草场共提供草200＋4×20＝280，可以让280÷20＝14（头）牛吃20天。
【例2】 （三帆中学阶段测试）由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少.已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天.照此计算，可以供多少头牛吃10天?
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分析：设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
20头牛 5天 20×5＝100 ：原有草量－5天自然减少的草量 15头牛 6天 15×6＝90 ：原有草量－6天自然减少的草量 从上容易发现：1天自然减少的草量＝10；
那么原有草量：100＋5×10＝150；10天吃完需要牛的头数是：150÷10－10＝5（头）。
说明：本题草每天在减少，通过两组条件的比较，求出每天牧草的减少量，然后把牛看作两部分，一部分是看得见的牛，一部分是看不见的牛“寒冷的化身”，分别计算，最后求差。
【前铺】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少.经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天.那么，可供11头牛吃几天? 分析：设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
20头牛 5天 20×5＝100 ：原有草量－5天自然减少的草量 16头牛 6天 16×6＝96 ：原有草量－6天自然减少的草量 从上易发现：1天自然减少的草量＝100－96＝4 ； 那么原有草量：100＋5×4＝120；
若有11头牛来吃草，1天草减少11＋4＝15；所以可供11头牛吃120÷15＝8（天）。
【例3】 （实验中学阶段测试）有一牧场，17头牛30天可将草吃完．19头牛则24天可以吃完．现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下牛再吃两天便将草吃完．问：原来有多少头牛吃草(草均匀生长)?
分析：设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
17头牛 30天 17×30＝510＝原有草量＋30天生长草量 19头牛 24天 19×24＝456＝原有草量＋24天生长草量 从上易发现：１天生长草量＝９，原有草量为：２４０ ；
设原来有ｘ头牛吃草，根据题意可得：２４０＋（６＋２）×９＝６ｘ＋（ｘ－４）×２； 解得：ｘ＝４０（头）。所以原来有４０头牛吃草。
【前铺】（实验中学、三帆中学）一片草地，可供5头牛吃30天，或者可供4头牛吃40天，如果4头牛吃30天，又增加了2头牛一起吃，还可以再吃几天? 分析：设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
5头牛 30天 5×30＝150＝原有草量＋30天生长草量 4头牛 40天 4×40＝160＝原有草量＋40天生长草量 从上易发现：1天生长的草量＝1；那么原有草量：150－30＝120；
如果4头牛吃30天，那么将会吃去120＝30新生长草量＋90原有草量； 而后变成6头牛，原有还有120-90＝30未吃掉，现在就相当于：“原有草量３０，每天生长草量１，那么６头牛吃几天可将它吃完？”易得答案是：３０÷（６－１）＝６（天）。
【例4】 （三帆中学阶段测试）一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天.如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供lO头牛和75只羊一起吃多少天? 分析：设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
16头牛 20天 16×20＝320：原有草量＋20天生长的草量 100只羊（20头牛） 12天 20×12＝240：原有草量＋12天生长的草量 从上易发现：8（＝20－12）天生长的草量＝320－240＝80，即1天生长的草量＝10； 那么原有草量：320－20×10＝120；
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lO头牛和75只羊1天一起吃的草量，相当于25头牛一天吃的草量；
25头牛中，若有10头牛去吃每天生长的草，那么剩下的15头牛需要120÷15＝8天可以把原有草量吃完，即这块草地可供lO头牛和75只羊一起吃8天。
【巩固】（实验中学阶段测试）一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草16头牛可吃15天，或者可供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相当于l头牛的吃草量，那么8头牛与48只羊一起吃，可以吃多少天?
分析：设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
16头牛 15天 16×15＝240：原有草量＋15天生长的草量 100只羊（25头牛） 6天 25×6＝150： 原有草量＋6天生长的草量 从上易发现：1天生长的草量＝10；那么原有草量：150－10×6＝90；
8头牛与48只羊相当于20头牛的吃草量，其中10头牛去吃新生草，那么剩下的10头牛吃原有草90只需9天，所以8头牛与48只羊一起吃，可以吃9天。
【例5】 东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长,这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天。在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，6天中可供多少头牛吃草？
分析：设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
18头牛 16天 18×16＝288 ：原有草量＋16天自然减少的草量 27头牛 8天 27× 8＝216 ：原有草量＋ 8天自然减少的草量
从上易发现：2000平方米的牧场上16－8＝8天生长草量＝288－216＝72，即1天生长草量＝72÷8＝9； 那么2000平方米的牧场上原有草量：288－16×9＝144或216－8×9＝144。
则6000平方米的牧场1天生长草量＝9×（6000÷2000）＝27；原有草量：144×（6000÷2000）＝432. 6天里，共草场共提供草432＋27×6＝594，可以让594÷6＝99（头）牛吃6天。
【拓展】若想草永远不被吃完草地上最多可以养多少头牛？
分析：若想草永远不被吃完，只能让牛去吃新生草，不能吃原有草否则肯定有一天草会被吃完，所以最多只能养9头牛。
【前铺】老师可以在【例1】的基础上拓展为：有一块1200平方米的牧场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天，另有一块3600平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都与第一块牧场相同，问这片牧场可供75头牛吃多少天？（你想挑战么？） 分析：设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
10头牛 20天 10×20＝200 ：原有草量＋20天生长的草量 15头牛 10天 15×10＝150 ：原有草量＋10天生长的草量 从上易发现：1200平方米牧场上20－10＝10天生长草量＝200－150＝50，即1天生长草量＝50÷10＝5； 那么1200平方米牧场上原有草量：200－5×20＝100或150－5×10＝100。
则3600平方米的牧场1天生长草量＝5×（3600÷1200）＝15；原有草量：100×（3600÷1200）＝300. 75头牛里，若有15头牛去吃每天生长的草，剩下60头牛需要300÷60＝5（天）可将原有草吃完，即它可供75头牛吃5天。
II. 牛吃草的变例
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思路：关键是找到题中“牛”和“草”分别是什么？
【例6】 画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队。求第一个观众到达的时间？
分析：设每一个入场口每分钟通过“1”份人，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
3个入场口 9分钟 3×9＝27 ：原有人＋9分钟来的人 5个入场口 5分钟 5×5＝25 ：原有人＋5分钟来的人
从上易发现：4分钟来的人＝27－25＝2，即1分钟来的人＝0.5；那么原有的人：27－9×0.5＝22.5； 这些人来到画展，用时间22.5÷0.5=45（分）。第一个观众到达的时间为9点－45分=8点15分。
说明：从表面是看这个问题与牛吃草问题相离很远，可谓风马牛不相及，但仔细体会，题目中每分钟来的观众一样多，类似“草长的速度”；入场口类似“牛”，问题就变成牛顿问题了。解决一个问题的方法往往能解决一类问题，关键在于是否掌握了方法的实质。
【前铺】有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？ 分析：设１人１天的割的草量为“１”，摘录条件将它们转化为如下形式方便分析
17人 30天 17×30＝510 ：原有草量＋30天生长的草量 19人 24天 19×24＝456 ：原有草量＋24天生长的草量
从上易发现：30－24＝6天生长的草量＝510－456＝54，即1天生长的草量＝54÷6＝9； 那么原有草量：510－9×30＝240或456－9×24＝240。
6天里，共草场共提供草240＋9×6＝294，可以让294÷6＝49（个）人割6天。
【例7】 一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完?
分析：设１人淘１分钟淘出的水量是“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 3人 40分钟 3×40=120：原有水+40分钟的进水 6人 16分钟 6×16=96 ：原有水+16分钟的进水
从上易发现：24（=40-16）分钟的进水量=120-96=24，即：1分钟的进水量=1； 那么原有水量：120-40×1=80；
5人中有1人分钟可以把水淘完来淘每分钟的进水量1 ，剩下4人需要80÷4=20（分钟）将把水淘完，即5人淘水20
【巩固1】有一池水，池底有泉水不断涌出，想要把水池水抽干，10台抽水机需要8小时，8台抽水机需要12小时，如果要用6台抽水机，那么需抽多少小时？ 分析：设1根抽水管1小时抽水的量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
10台抽水机 8小时 10×8＝80:原有水量＋ 8小时进水量 8台抽水机 12小时 8×12＝96:原有水量＋12小时进水量
从上易发现：4小时进水量＝96－80＝16，即1小时进水量＝4；那么原有水量：80－4×8＝48；
用6台抽水机，若其中4台抽水机去抽每小时进来的水，那么剩下的2台抽水机需要48÷2=24（小时）可将原有水抽完，即用6台抽水机，需要24小时将池中的水抽干。
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