广州大学2007-2008学年第一学期考试卷
线性代数B卷参考解答
一．填空题（每小题3分，本大题满分15分）
1．设α1,α2,α3为3维列向量, 且|α1,α2,α3|?4, 则|α1,2α3?2α2,α2|??8.
?200???2．已知A*??220?，则|A|?4.
?444???3．设A为可逆矩阵, 则矩阵方程XA?B的解为X?BA?1.
4．若向量α?(1,?1,2)与β?(1,a,1)正交, 则a?3.
25．若2阶方阵A满足方程A?3A?2E?O, 且A的两个特征值不相等, 则A的特征值为1,2.
二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分) 1．设A为3阶方阵，且|A|?4, 则|?2A|?( D ). (A) 8； (B) ?8； (C) 32 (D) ?32.
2811754x122. 二次多项式中x项的系数是( C ).
3x?561081
(A) 7； (B) ?7； (C) 5 (D) ?5.
3. 设A,B,C均为n阶方阵, 且ABC?E, 则必有( A ).
(A) CAB?E; (B) BAC?E; (C) CBA?E; (D) ACB?E.
4. 设A是m?n矩阵, 若线性方程组Ax?0仅有零解, 则必有( C ). (A) R(A)?m; (B) R(A)?m; (C) R(A)?n; (D) R(A)?n.
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5. 若向量组α1,?,αm线性无关, 且k1α1???kmαm?0, 则( A ). (A) k1,?,km全为0; (B) k1,?,km全不为0; (C) k1,?,km不全为0; (D) 前述情况都可能出现.
三．（本题满分8分）
12计算行列式D?10解 D?0010?0010 ?00
1?201?14.
2310?2?43221?21?14。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
?1?1405?221?21?14。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
0?2805?221?21?14。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 ??36。
0?280018
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四．（本题满分8分）
?12?, ?13?, C?2A?B, 求C2007.
设A??B???59??34????11?解 C??。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分 ?。
1?1???20? C2??。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分 ?。
?02??210030?2006?? C 1003?2??0?21003210?032007??1003 C。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 1003??2??2
五．（本题满分10分）
?y1?x1?3x2?4x3?求线性变换?y2?2x1?x2?2x3的逆变换.
?y?x?2x?3x123?3?1?解 系数矩阵A??2?1???1?A*???4?3?34??12?，|A|??1，逆变换存在。。。。。。。。。。。。。。。。3分 23???12???16?。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 1?5???11?2?1??A?1?A*??41?6?。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
|A|??3?15????x1?y1?y2?2y3?所求逆变换为 ?x2?4y1?y2?6y3。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
?x??3y?y?5y123?3
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六．（本题满分12分）
?1314???2?, 求向量组α1,α2,α3,α4的秩和一个最大设(α1,α2,α3,α4)??2?38?212?212???无关组, 再把其余向量用该最大无关组线性表示. 解 化矩阵(α1,α2,α3,α4)为行最简形:
?1032?4???131?22????。。。。。。。。。5分 (α1,α2,α3,α4)~?0?96?6?~01??33??06?44????0000???向量组α1,α2,α3,α4的秩为2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分
一个最大无关组为α1,α2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分 且有 α3?3α1?
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22α, α?2α?α2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 24133
七．（本题满分12分）
?x1?2x2?3x3?3x4?7?求方程组?3x1?2x2?x3?x4??3的通解.
?5x?4x?3x?3x??1234?1解 化增广矩阵为行最简形:
?1?(A,b)??3?5??1?~?0?0?7??211?3?。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分 433?1??7???4?8?8?24?。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 ?6?12?12?36??233233?10?1?1?5???~?01226?。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 ?00000????x1?x3?x4??5同解方程组为 ?。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
x?2x?2x?634?2令x3?k1，x4?k2，得通解为
?x1??1??1???5?????????x?2?2??6?2??????k?k? ，其中k1,k2为任意实数。。。。。。。。。。。12分 ?x3?1?1?2?0??0?????????x0???1??0??4?
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