八．（本题满分12分）
??110?求矩阵A???430?的特征值和特征向量.
?102????1??103??0?(2??)(1??)2 解 |A??E|??4102??A的特征值为?1??2?1，?3?2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
?0???当?1?2时，解 (A?2E)x?0，得基础解系p1??0?，
?1???对应于特征值?1?2的全部特征向量为k1p1（k1?0）。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分 ??1???当?2??3?1时，解(A?E)x?0，得基础解系p2???2?，
?1???对应于特征值?2??3?1的全部特征向量为k2p2（k2?0）。。。。。。。。。。。。12分
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九．（本题满分8分）
设η是非齐次线性方程组Ax?b的一个解, ξ1,?,ξn?r是Ax?0的一个基础解系. 证明: η,η?ξ1,?,η?ξn?r线性无关.
证明 设存在一组数x,x1,?,xn?r, 使
xη?x1(η?ξ1)???xn?r(η?ξn?r)?0 (1)
即 (x?x1???xn?r)η?x1ξ1???xn?rξn?r?0 (2)..................2分 由题设Aη?b, Aξi?0(i?1,?,n?r), 用矩阵A左乘(2)的两边, 得
(x?x1???xn?r)b?0
因b?0, 得
x?x1???xn?r?0 (3)…………..5分
代入(2)得
x1ξ1???xn?rξn?r?0
因基础解系 ξ1,?,ξn?r 线性无关, 所以
x1???xn?r?0
代入(3)得 x?0.
因此(1)只有零解, 从而η,η?ξ1,?,η?ξn?r 线性无关………………………..8分
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