一、极限
lim(x2?2)?limx2?lim2?3 x?1x?1x?1lim2x2?lim?limx2?2
x?1x?1x?1x0x?1lim???0 x?0cosx?1lim(cosx?1)2x?02limx2 1.
limtanx?limsinx?1?1 x?0xx?0xcosxx?????lim??1?x????????x?2?2. lim??x?x0??x?1?1?x?1??x?x?1x?1???????????????e
?0?mm?1a0x?a1x???am?1x?am?a3. lim??nn?1x??bx?bx???bx?b?b01n?1n???4.limx?0m?nm?n(b0?0) m?nln(x?2)?ln2
5.已知
f?0??0，f??0??5，则limx?0f?x?f?x??f?0??lim?f??0??5
x?0xx?(x)?1，求?(x)与?（x） 6.lim 记?∽?，记几个等价无穷小
?(x) 当
x?0时，simx∽x，arcsimx∽x，tanx∽x，arctanx∽x
x2x1?cosx∽，e?1∽x，lim(1?x)∽x，
x1
?若x?x时，?(x)∽?'(x)，?(x)?'(x)且lim
x?x?'00则
?(x)?(x)?lim
x?x?(x)x?x?'(x)lim00(x?1)ln(1?x)ln(1?x)?11?xlim?lim?lim?0 7. 2x??x??x??2x?3x2x?3二、连续性、可导性，求切线方程及法线方程
????18、设
?e2x?ax?0f?x???2
x?bx?2x?0?f?x?在x?0处连续，求a,b f?x?在x?0处可导，求a,b
limf?x??limf?x??f?0? f?x?在x?0处连续，即x?0?x?0? ○1要 ○2要解：○1要
2x2lime?a?limx?bx?2?1?a，即1?a?2.得a?1 即??x?0x?0?????a?1，b为任意实数时，f?x?在x?0处连续。
2f?x?在x?0处可导，则f?x?在x?0处连续，则a?1，又由f?x?在x?0处的○可导性及lim?x?0f?x??f?0?f?x??f?0??lim
x?0?xxe2?1?2x2?bx?2?2e2?1??lim?limx?b? 即lim，即lim????x?0x?0x?0x?0xxx即2?b。
?a?1,b?2时，f?x?在x?0处可导
8、求解：
?1?处的切线及法线方程 y??x2?2x?1在?0，y???2x?2，y?x?0?2
2
1?x?0? y?1?????切线方程y?1?2x?0，法线方程2x?2tanx?sinxtanx?sinxsinx?1?cosx??lim?lim?lim39、lim 333x?0x?0x?0x?0x?cosxtanxxx?cosx1 ?2
22xy?a10、证明双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形曲面积等于2a。
x2a2证明：?y?xa2?，y??2x
a2a2y???2?x?x0?
?切线方程为
x0x02a2y? 取x?0，得
x0 取
y?0，得x?2x0
12a22A??2x??2a0 ?切线与两坐标轴所围成三角形面积为
2x0三、求导的方法
2y?fx11、
??2，求
y??
2解：y??f?x?x?????2x?f??x?
2?y???2?fx?2x?f??x?x??2?????2f??x??4x222?2?f??x2??
?x?sint?12、求曲线?在t?处的切线方程为
y?cos2t4?dy解：
dxt??4yt??xt?t??4?2sin2t?costt??4??22
3
?2 当t?时，x0?，y0?0
42?2??x??y?0??22 切线方程为?? 2??x?y??y?yxe?xy?1?0确定，求y???0? 13、设由
解：当
x?0时，y?0
原式两边对 代
x求导，得ex?y?1?y???y?x?y??0 （*）
2x?0，y?0得y??0???1
x?0，y?0，y??0???1得y???0??2
2xx?y?1?y???ex?y?y???2y??xy???0 在（*）等式两边对x求导，得e 代
四、微分 14、d解：
15、
?e??d?2?d?e??2edxd?2??2ed?2??d?e??2ln2d?arctanx??d?e?
2xx
2x，
xxln2dx
2x2xxx?1
x
解：d?arctanx??1xxdxde?edx ，
1?x21x??darctanx?de?
1?x2ex??????五、单调性、凹凸性、极值。
32??1,3y?ax?bxa、b16、求使点是曲线的拐点，并求该曲线的凹凸区间。
解：
y??3ax2?2bx，y???6ax?2b
?a??3?3a?b?029 由题意得?，解得?b?a?b?32??4
又
y????9x?9?9?1?x?，令y???0得x?1a、b
列表
x y?? ???,1? ? 拐点1 ?1,??? － 0 y??x? ?1,3? 1?17、求b使f?x??bsinx?sin3x在x?33处取得极值，它是极大值还是极小值？
1?解：f?x??bcosx?cos3x?3?bcosx?cos3x
3b??????0即?1?0得b?2。 ?f?2?3?f???x???2sinx?3sin3x，
???f??????3?0 ?3??x??3是极大值点，极大值
???f???3 ?3?f?x0?4?x??f?x0?lim? 18、已知f??x0??5，则?x?0?xf?x0?4?x??f?x0?f?x0?4?x??f?x0?lim?lim?4?4f??x0??20 解：?x?0?x?0?x4?x19、试证明，当
x?0时
1?x2?1?lnx?1?x2x??
证明：令
f?x??1?xlnx?1?x2?1?x2??
?x??f?x??lnx?1?x?x?1?2?x?1?x?1?x22??1?x???21?x?
5