?lnx?1?x2?0
???f?x?在?0,???单调递增
22?当x?0时，有f?x??f?0??0即1?xlnx?1?x?1?x?0
??1?x2?12?lnx?1?x?x六、不定积分 20、设
??
f?x??e?x，则
?f??lnx?dx??f??lnx?d?lnx??f?lnx??C?e?lnx?C
x1??C x21、求
?sinxdx。
43x?tdx?4tdt，t?4x 解：令，则
?t2?t31???t?1???dt?4??t?ln1?t??C
?sinxdx?4?t2?tdt?4????t?1???2??1??4?2?4x?ln1?4x??C
?2?七、定积分
?222、
?40sinxdx?2sinx?xlnx???240?2
另解：令
?2x?t，则x?t2，dx?2tdt
sinxdx??2sintdt??2?2t???sint?dt??2?2td?cost?
000?????40?022??2tcost0?2?2cost?dt?2sint0?2
?八、定积分的应用
22????0,?33,0y??x?4x?3y??x?4x?3所围图23、求曲线在及处的切线和曲线
形的面积。
6
解：
y??x2?4x?3??x2?4x?4?1???x?2??1
2??y???2?x?2?
?在?0,?3?处，y?x?0?4，切线方程为y?3?4?x?0?即y?4x?3
在
?3,0?处，y?x?3??2，切线方程为y?0??2?x?3?即y??2x?6
?y?4x?33求解?得x?
y??2x?62?所求面积
A?A1?A2
??4x?3?x?4x?3dx??3?2x?6?x2?4x?3dx
2320?2?3????xdx??3xdx?3?3??2x?3?dx??xdx?3?3?3?2x?dx
22222023203333x?3九、微分方程
23?33x?x0?2332?99?9?3??
44dy1?y2?24、求通解dx1?x2
?1?y2?0?
dy1dy12?dx ?1?y分离变量，得
解：22dx1?y1?x1?x2积分：
?11?y2dy??11?x2dx即arcsiny?arcsinx?C
5dy2y???x?1?2 （一阶线性微分方程） 25、求通解
dxx?152解：P?x???，Q?x???x?1?2
x?17
?y?e通解
?P?x?dx?Q?x??e????P?x?dx?dx?C??e??2dxx?125??dx??x?1dx?C? ???x?1?2?e???e2ln?1?x?5?12???x?1?5??2ln?1?x?2?edx?C???1?x????1?x?2dx?C?2?????1?x???3?2?21?xdx?C??1?x???1?x??C? ?3?2 ??1?x???2?26、求通解○1 ○2 ○3
y???3y??2y?0 y???2y??y?0 y???2y??3y?0
2解：○1特征方程r 通解为
?3r?2?0即?r?1??r?2??0解得，特征根r1??1，r2??2
2y?C1e?x?C2e?2x
2r?2r?1?0即?r?1??0解得，特征根r1?r2??1 2特征方程○
?x??y?C?Cxe 通解为 121、23特征方程r?2r?3?0解得，特征根r○
2?2?4?12???1?2i
2?xy?eC1cos2x?C2sin2x 通解为
??
27、求通解解：先求
y???5y??4y?3?2x
y???5y??4y?0的通解Y?x?
2r?5r?4?0即?r?1??r?4??0解得，特征根r1??1，r2??4 特征方程
?x?4x?Y?x??C1e?C2e
先求
y???5y??4y?3?2x的一个解y*
*00?x令
y?x?ax?b?e?ax?b，则y?a，y8
*?*??0代入原式，得
5?a?4?ax?b??3?2x
?4a??21??5a?4b?3得a??2?111?y??x?
28*11，b?8
111?x?4x??y?y?Yx??x??Ce?Ce12通解
28*十、证明题
十一、偏导数：
dzdz28、z?sin?xy??xy求
dx、dy
22dzdz22???xcosxy?2xy ???ycosxy?2xy解：，
dydxx?yz?fsinx,e29、设
??2dzdzdz求、、，其中fdydxdydx是具有二阶连续的偏导数。
dz???x?y???x?y???fsinx?fe?cosx?f?ef1212 x解：
dx??dz??????f1?sinx?y?f2ex?yy?ex?yf2dy??
d2z??x?y?x?y??x?yx?y?cosx??f11?0?f12e???ef2?e??f21?0?f22e??
????dxdy?2x?2y?x?y?cosx?eff22 12?e2dzx?ycos?x?z??2所确定的隐函数的偏导数30、求由方程edxdy。
9
解：对
x求偏导：ex?ycos?x?z??ex?y?dz?sin?x?z??1???0
?dx?dzcos?x?z?dz?1?dx?sin?x?z??dx?cot?x?z??1
原式两边对
y求偏导：ex?ycos?x?z??ex?ydzdzsin?x?z??0??cot?x?z?
dydyd2zdz2??csc?x?z???csc2?x?z?cot?x?z?
dxdydy十二、全微分
?zxy，则du?
?duyxyxyxy?z?zlnz?ylnz?z解： dx?duxyxy?z?zlnzx?xlnz?zxy dxdu?xyzxy?1 dz31、设u?????????x2????2x?2x3x0lim?lim?2lim?32、x?0?xx?0x?x?sinx?x?0?1?cosx
?t?t?sint?at0tdt320030033、已知
lnx?1?x2??是
f?x?的一个原函数，求?x?f??x?dx
2解：
?f?x??lnx?1?x且
??????x?1??2?x?1?x?1?x21?1???1?x2?
?f?x?dx?lnx?1?x2?C
??10