minW?12y1?8y2?16y3?12y4?2?2y1?y2?4y3??4y4?3?2y1?2y2?y?0,i?1,2,3,4?i
?2y1?y2?4y3?2 （*） ?x1?0,x2?0,?其对偶问题取严格等式?2y?2y?4y?324?1?第1，4两种资源有剩余，即原问题约束(1)、(4)取严格不等式?对应对偶问题变量y1?0,y4?0 代入（*）式，y2?4y3?2，2y2?3 ?y3?
13,y2? 82?0??3??2??W*??1281612????14
?18?????0???z*?w*?14
由??x1?2x2?8?x1?4?? ?16?4x1?x2?2综上，原问题最优解x??42?,Z*?14
T?3 对偶问题最优解y??0?21?0?,W*?14 8?T
（四）灵敏度分析
三（25%）、派公司是一个生产高尔夫器材的小型公司，近期推出了高、中价位的高尔夫袋新产品（标准袋和高档袋），经销商对此产品十分感兴趣，并订购了派公司下3个月的全部产品。
该高尔夫袋的生产过程主要包括4道工序：切割并印染原材料、缝合、成型（插入支撑架和球棒分离装置等）、检验和包装。有关数据如表1。派公司须决定标准袋和高档袋各生产多少可使公司的总利润最大。
表1
时间单耗 产品 （小时） 工序 切割印染 缝合 成型 检验包装 产品单位利润（美元）
标准袋 高档袋 7/10 1 1/2 5/6 1 2/3 1/10 1/4 10 9 3个月内最大生产能力（小时） 630 600 708 135 (1) 写出此问题的线性规划模型，约束依表1中次序；
(2) 引入松弛变量（依约束次序）后用单纯形法计算得某单纯形表如表2，请填完表中空白，并判断其是否终表，如果是，请写出最优生产计划、最大利润和资源剩余；
表2 CB XB B-1b 9 x2 252 0 x4 120 10 x1 540 0 x6 18 10 9 0 0 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 1.875 0 -1.3125 0 0 -0.9375 1 0.15625 0 0 -1.25 0 1.875 0 0 -0.34375 0 0.140625 1 -6.9375 ?j (3) 写出此问题的对偶问题的模型，及对偶的最优解与最优值；
(4) 写出成型时间的影子价格，求使该影子价格不变的成型时间的变化范围；
(5) 若标准袋的利润可能发生变化，则其在何范围内变化时，可使原最优计划不改变？图示说明其几何意义。（2005） 解：三 设标准袋生产x1,高档袋生产x2 （1）maxZ?10x1?9x2
?7?10x1?x2?630??1x?5x?600?2162?2? ?x1?x2?708
3?1?1x??1014x2?135??x1,x2?0??
（2） CBXBBb ?110 9 0 0 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 x6 9 x2 252 0 x4 120 10 x1 540 0 x6 18 0 1 1.875 0 -1.3125 0 0 0 -0.9375 1 0.15625 0 1 0 -1.25 0 1.875 0 0 0 -0.34375 0 0.140625 1 0 0 -4.375 0 -6.9375 0 ?j ?j?Cj?CBB?1Pj
?1.875???0.9375????4.375 ??3?C3?B?1p3?0??90100????1.25????0.34375????j?0(j?1,?,6)
?是终表
?最优生产计划x??5402520120018?，即普通袋540个，高档袋252个 ?540??最大利润Z*??109????7668 (美元)
?252?因为松弛变量x3?0，x4?120，x5?0，x6?18所以第2，4种资源有剩余，分别为120，18。（3）对偶问题模型：
minW?630y1?600y2?708y3?135y411?7y?y?y?y4?103?1012210?521?y?y?y?y4?9?123634??y1?0,y2?0??对偶问题最优解：y??4.3750*
6.96750?
由对偶问题的强对偶性知，对偶问题与原问题的最优值相同W*=Z*=7668 (美元)
（4）成型时间影子价格为6.9375
使该影子价格不变的成型时间的变化范围应满足?1.875??0.9375???1.25???0.34375即0??630??600?10.156250?????001.8750??708??b????00.1406251??135?
0?1.31251.875?630?1.3125?(708??b)?0?0.9375?630?1?600?0.15625?(708??b)?0?1.25?630?1.875?(708??b)?0?0.34375?630?0.140625?(708??b)?1?135?0（5）c1变化，可能影响检验数，故令
?j?Cj?CBB?1Pj?Cj??9010??C0?B?1Pj?1.875???0.9375???0 ?3?C3?CBB?1P3?0??9010??C0????1.25????0.34375????1.3125??0.15625??1??0?5?C5?CBBP5?0??9010??C0????1.875???0.140625??由此得16.875?1.25?(10??C)?0?11.8125?1.875?(10??C)?0 解得?3.75??C?3.5二（23%）、某公司生产家用的清洁产品，为了在高度的市场竞争中增加市场份额，公司决定进行一次大规模的广告行动。表1给出了公司准备做广告的三种产品名称、估计每做一单位广告（一个广告标准批量）使每种产品的市场份额增加量、公司拟定的广告后每种产品市场份额增加量的最低目标和两种可选的广告方式的单价。 表1 单位增量 广告种类 产品 去污剂 液体洗涤剂 洗衣粉 广告单位成本（万元） 电视 0% 3% -1% 100 印刷媒体 1% 2% 4% 200 广告后市场份额最低增量 3% 18% 4% 其中洗衣粉的市场份额出现负值是由于液体洗涤剂的份额增加会造成洗衣粉份额的减少。
现公司需拟定使广告总费用最少的广告计划，即决定电视和印刷媒体的广告数量（分别记为x1和x2）。
1. 请写出此问题的线性规划模型（约束依表1中产品的次序），并将模型化为标准型。 2. 用（Min型）单纯形法求解此问题，得单纯形终表如表2. 表2 CB 0 100 200 XB x5 x1 x2 σj B-1b 4 4 3 100 x1 200 x2 0 x3 400/3 0 x4 1/3 -1/3 0 100/3 0 x5 1 0 0 M x6 14/3 -2/3 1 M x7 -1/3 1/3 0 M x8 -1 0 0 M M-400/3 M-100/3 （1）请填完表中空白；（2）由表指出最优广告计划并求出相应的最低广告费用，此最优计划使每种产品的市场份额最低增量目标达成情况如何？
3. 写出此问题的对偶问题模型，由表2求出对偶最优解Y*,并解释Y*的实际意义。
（2004）
1. min Z=100x1+200x2
?x2?3??3x1?2x2?18 ??x?4x?42?1标准型：
?x2?x3?3??3x1?2x2?x4?18
??x?4x?x?425?1x1?0,x2?0,x3?0,x4?0,x5?02. (1)
CB 0 100 200 XB x5 x1 x2 σj B-1b 4 4 3 100 x1 0 1 0 0 200 x2 0 0 1 0 0 x3 -14/3 2/3 -1 400/3 0 x4 1/3 -1/3 0 100/3 0 x5 1 0 0 0 M x6 14/3 -2/3 1 M x7 -1/3 1/3 0 M x8 -1 0 0 M M-400/3 M-100/3 (2)
最优广告计划x?(4,3)，即电视广告数量为4，印刷广告数量为3，最低费用：W=1000 达成情况为去污剂增加3%，恰好达标 洗衣剂增加18%，恰好达标 洗衣粉增加8%，超额4%完成
T