(3)
对偶模型为：
maxf?3y1?18y2?4y3?3y2?y3?100??y1?2y2?4y3?200y1?0,y2?0,y3?0对偶最优解为：y=(400/3,100/3,0)
经济意义：yi代表三种产品的广告的投资，3，18，4为每种产品广告单位投资后的手机，100，200代表用于电视及印刷品的投资额，故该模型的含义为用每种产品的头则使其在不超过约束的条件下达到利润最大化。 (3)(30%)考虑线性规划问题
Min z=-4x1+x2+30x3-11x4-2x5+3x6+10x7
-2x1+6x3+2x4-3x6+x7=20
-4x1+x2+7x3+x4-x6=10 -5x3+3x4+x5-x6=60 Xj≥0(j=1,2,?7)
用单纯型法求解,初表及终表如下: 初表 CB XB B-1b -4 1 30 -11 -2 3 10 X1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 -2 0 6 2 0 -3 1 -4 1 7 1 0 -1 0 0 0 -5 3 1 -1 0 -7/24 0 1/24 1/12 1/12 1 5/12 -1/6 1/4 0 1/4 -1/2
检验数 终表 -4 x1 5/4 45/2 3 x6 15/2 检验数 1.填完初表和终表中各空白,并说明所得最优解是否是唯一的,为什么? ?18??18?????2.考虑当b变为b?13时,对最优解有什么影响?当b变为b?14时,对最优解是否有影???????60???60??响?
3.对偶问题最优解?（2003）
解：⒊ CB XB B-1b 10 x7 20 1 x2 10 -4 1 30 -11 -2 3 10 X1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 -2 0 6 2 0 -3 1 -4 1 7 1 0 -1 0
-2 x5 60 检验数 0 0 -5 3 1 -1 0 20 0 -47 -26 0 32 0 ??2???3??????j=Cj-CBB-1Pj ?1=-4-(10 1 -2) ??4?=-4+24=20 ?6=3=(10 1 -2)??1?=32
?0???1??????6??2??????3=30-(10 1 -2)?7?=-47 ?4=-11-(10 1 -2)?1?=-26
??5??3?????-4 x1 5/4 -11 x4 45/2 3 x6 15/2 检验数 1 -7/24 -7/4 0 1/24 0 1/12 0 1/12 -5/2 1 5/12 0 -1/6 0 1/4 -5/2 0 1/4 1 -1/2 0 0 3 0 2 0 10 ?1/12?7/241/24???5/12? B-1=B-1AN=??1/61/12??1/21/41/4????1/12?7/241/24???5/12?B-1P3=??1/61/12??1/21/41/4?????7/24????2=1-(-4 -11 3)?1/12?=0
?1/4???①不唯一，因为存在非基变量检验数为零，则有多个最优解
?6???7/4?????7?5/2=???? ??5???5/2????????5/24?1/12?7/241/2418???????????1?-1
5/12??13?=23②Bb=??1/61/12≥0 无影响
??12??1/21/4??60?1/4?????1??9??4??1/12?7/241/24???-1
5/12?Bb=??1/61/12??1/21/41/4????18???1/12?????14?1/12=????＜0 有影响 ?60???1/12??????1/12?7/241/24???-1
5/12?=（3 1 -4） ③CBB=（-4 -11 3）??1/61/12??1/21/41/4???Y=（3 1 -4）
二、（17%）已知线性规划问题
max z = (c1+t1) x1 + c2x2 + c3x3 + 0x4 + 0x5
?a11x1?a12x2?a13x3?x4?b1?3t2?s.t.?a12x1?a22x2?a23x3?x5?b2?t2 ?x?0(j?1，?，5)?j
X1 0
1 0
X2 1/2 1/2 4
X3 1 0 0
X4 1/2 1/6 4
X5 0 1/3 2
当t1=t2=0时，用单纯形法求得最终表如下： X3 5/2 X4 5/2 Cj-Zj
要求：1.确定c1,c2,c3,b1,b2,a11,a12,a13,a21,a22,a23的值；
2．当t2=0时，t1在什么范围内变化上述最优解不变；
3．当t1=0时，t2在什么范围内变化上述最优基不变。(2002) 解：二、1．B?1b???0??b1??5/2??b1?5?1/2?? ? ????????????1/61/3??b2??5/2??b2?10??1/2??4?C?(CC)?231???1/2??????C1?6??1/2?????又由δj=Cj-CBB-1Pj，设??4?0?(C3C1)???C??2?? 2??1/6?????C?10??3???0???2?0?(C3C1)??1/3??????11/20??01/2? ??1 ?1/20?1/61/3???∽?? ∽
1210??0?? ?6 ? ?3 0?12???0?61210?1210??0???∽ ????2 202?101??3?1 1210??0?初表： ?? ?3 ? ?1 101??
对应得到a11=0,a12=1,a13=2,a21=3,a22=-1,a23=1
2．t1变化，将影响各检验数的变化，检验各非基变量检验数，若δj ≤0，则最优解不变
??1/2????2?(10 6?t)?21???1/2???0?????1/2??6?t1)???4?0?(10 ??1/6???0??6?t1?8
?????0???5?0?(10 6?t1)??1/3???0????
?3．t2变化即b变化，要使最优基不变则B-1b≥0，因为B?1??，所以??1/6 ?1/3???1/20?0??5?3t2??1/2(5?3t2)?0?1/2???B?1b?? ?0???5/3?t2?15???1/61/3??10?t????2???1/6(5?3t2)?1/3(10?t2)?0
二、（18分）某公司生产3种产品：x1,x2,x3,需要3种资源：技术服务，动力和行政管理，公司经理助理根据公司实际情况，建立了使总利润最大的产品产量的线性规划模型，并maxZ?10x1?6x2?4x3)?x1?x2?x3?100(技术服务约束?s.t.?10x1?4x2?5x3?600（劳动力约束）?2x?2x?6x?300（行政管理约束）23?1采用单纯形法求得最优表格如下： C8 6 10 0 X8 C8 10 X1 0 1 0 0 6 X2 1 0 0 0 4 X3 5/6 1/6 4 0 X4 10/6 -4/6 -2 0 X5 -1/6 1/6 0 0 X6 0 0 1 0 Qj qj b X8 X2 X1 X5 -Z 400/6 200/6 100 4400/6 -8/3 -10/3 -2/3 在向总经理汇报时，总经理提出以下问题： 1． 公司3中资源的影子价格各是多少？
2． 若要现行解保持最优，则产品X 1的单位利润不得低于何值？ 3． 若产品X3值得生产的话，它的单位利润应是多少？
4． 制造部门提出要生产一种新产品，该单位产品要技术服务1小时，劳动力4小时，行政
管理3小时。销售部门预测这种产品出售时可获8元的单位利润，管理部门是否考虑应将此新产品投产？
现请帮助经理助理回答以上问题。（2001）
102解：1.公司3种资源的影子价格分别为：技术服务：，劳动力：332.对于第1种产品，产品x1,x1的单位利润为C1?x1是基变量?C1变化将影响各非基变量检验数在保持?3，?4，?5?0的情况下，现行解保持最优，则：
??5?????6???1?1???4??6C?0??1?C1?0??1?3???6?6????4?????????10?????6???4????4???4?0??6C10??????10?C1?0?6?C1?18??66??????2?????????1??????6???1?1?????0?6C0?1?C1?0??1?5???6?6????0????????同理的：对于C2，?x2为基变量，?C2变化将影响各非基变量检验数75????33?6C2?0?1020?只要使：??C??0?4?C2?10，现行解保持最优?4263?110???C??5626?0?对于x3，?x3是非基变量，?C3变化只对?3有影响，只要保证?3?0，现行解保持最优?5????6??1?20200??0?C3?????C3??633???4?????203??3?C3???6?103.若产品x3值为生产，则x3应为基变量，?在单纯性表中?3?0，即C3至少应为?10??6?4?0????6???2???16016?0???1????0??4??2?8?6?0??3???1???4.设新产品为x7，则?7?8???6?10?应将新产品投产