N?1?????2 或者 ??h(n)?h(N?1?n)N?1?????2（13）??h(n)??h(N?1?n)N?1对称的，22、线性相位FIR数字滤波器的幅度特性
如果滤波器的系数h(n)的长度为N，且这些系数是关于??根据h(n)的奇偶对称性和N的奇偶性，线性相位FIR数字滤波器可以分为4种类型，下面分别介绍这4种类型滤波器的频率响应。 1）I型滤波器，系数h(n)为偶对称，N为奇数
当系数h(n)为偶对称，N为奇数时，根据式（8），该类型滤波器的幅度特性
函数为：
H?????(n) （14）?a(n)cos
n?0N?12N-1?N??N?1? 其中， （15） a(0)?h?2，??，? a(n)?2h??n? n?1，222????滤波器的幅度响应对??0、?、、2?呈偶对称。 2）II型滤波器，系数h(n)为偶对称，N为偶数
当系数h(n)为偶对称，N为偶数时，根据式（8），该类型滤波器的幅度特性
1?(n?)) （16） 函数为：H?????b(n)cos(2n?0N?N?其中， b(n)?2h??n? n?1，（17） 2，??，
22????1???n?滤波器的幅度响应对???呈奇对称。但是，由于cos?在???时等于?????2????N?12零，不能用这种方式实现在???有频率响应的频率特性，比如高通滤波器和带阻滤波器。
3）III型滤波器，系数h(n)为奇对称，N为奇数
当系数h(n)为奇对称，N为奇数时，根据式（11），该类型滤波器的幅度特
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性函数为： H?????(n) （18） ?c(n)sinn?0N?12N?1?N?1?其中， c(n)?2h? （19） ?n? n?1，2，??，22??滤波器的幅度响应对??0、?、、但是，由于sin(?n)在??0、?、、2?奇对称。2?时等于零，不能用这种方式实现低通滤波器、高通滤波器和带阻滤波器，只能用做带通滤波器。
4）IV型滤波器，系数h(n)为奇对称，N为偶数
当系数h(n)为奇对称，N为偶数时，根据式（11），该类型滤波器的幅度特性 函数为： H????N?12n?0?d(n)sin(?(n?1)) （20） 2N?N?其中， d(n)?2h??n? n?1， 2，??， （21）
2?2?滤波器的幅度响应对??0，2?呈奇对称，对???呈偶对称。但是，由于
12?时等于零，不能用这种方式实现低通滤波器和带阻滤波sin(?(n?))在??0，2器。
3、线性相位FIR数字滤波器的零极点特性
FIR数字滤波器的零点是其系数多项式的根，它的极点与原点数目相同，集中在Z平面的原点处。
由于线性相位FIR数字滤波器的单位脉冲响应具有对称性，即
?(N?1)?1H(z)??zH(z) （22） h(n)??h(N?1?n)，可得
由上式可以看出，如果zi是该滤波器的一个零点，则
*1也是它的零点。又由于zih(n)是实数，H(z)的零点必定共轭成对出现，则zi和
1zi*也是零点。所以，线性
相位FIR数字滤波器的零点必是互为倒数的共轭对。
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根据4种类型线性相位FIR数字滤波器的特点，可以得到它们零点特性的主要区别是在z=1处和z=-1处的零点数量，即
1）I型线性相位FIR数字滤波器在z=1和z=-1处有偶数个零点或者没有零点。
2）II型线性相位FIR数字滤波器在z=1处有偶数个零点或者没有零点，在z=-1处有奇数个零点。
3）III型线性相位FIR数字滤波器在z=1和z=-1处有奇数个零点。 4）IV型线性相位FIR数字滤波器在z=1处有奇数个零点，在z=-1处有偶数个零点或者没有零点。
例：根据给出4种类型滤波器的系数，分别画出其零极点图。
h1=[-4,1,-1,-2,5,6,5,-2,-1,1,-4]; h2=[-4,1,-1,-2,5,6,6,5,-2,-1,1,-4]; h3=[-4,1,-1,-2,5,0,-5,2,1,-1,4]; h4=[-4,1,-1,-2,5,6,-6,-5,2,1,-1,4]; clear all; close all; clc;
h1=[-4,1,-1,-2,5,6,5,-2,-1,1,-4];h2=[-4,1,-1,-2,5,6,6,5,-2,-1,1,-4]; h3=[-4,1,-1,-2,5,0,-5,2,1,-1,4];h4=[-4,1,-1,-2,5,6,-6,-5,2,1,-1,4]; subplot(2,2,1);zplane(h1,1);title('I型零极点') subplot(2,2,2);zplane(h2,1);title('II型零极点') subplot(2,2,3);zplane(h3,1);title('III型零极点') subplot(2,2,4);zplane(h4,1);title('IV型零极点')
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第三部分 基于MATLAB的FIR数字滤波器设计
一、数字滤波器的设计方法描述
数字滤波器有多种设计方法，如双线性变换法、窗函数设计法、插值逼近法和Chebyshev逼近法等等，但是通常采用窗函数法设计。窗函数法设计FIR滤波器的基本思想是：根据给定的滤波器技术指标选择滤波器长度N和窗函数?(n)，使其具有最窄宽度的主瓣和最小的旁瓣，其核心是从给定的频率特性，通过加窗确定有限长单位脉冲响应序列h(n)。一般采用以下五种窗函数：
矩形窗(Rectangular Window)、三角形窗(Triangular Window)、汉宁窗（Hanning Window）、哈明窗（Hamming Window）、布莱克曼窗(Blackman Window）。
目前FIR滤波器的实现方法大致可分为三种：利用单片通用数字滤波器集成电路、DSP器件和可编程逻辑器件实现。单片通用数字滤波器使用方便，但由于字长和阶数的规格较少，不能完全满足实际需要，使用以串行运算为主导的通用DSP芯实现要简单，是一种实时、快速、特别适合于实现各种数字信号处理运算的微处理器，借助于通用数字计算机按滤波器的设计算法编出程序进行数字滤波计算 。由于它具有丰富的硬件资源、改进的哈佛结构、高速数据处理能力和强大的指令系统，因此在通信、航空、航天、雷达、工业控制网络及家用电器等各个领域得到广泛应用。
二、常用窗函数及设计方法
1、矩形窗
?10?n?N?1矩形窗的时域表达式为： w(n)?RN(n)?? （23）
0其他???N?sin???N?1??2??j???j??2?W(e)?e它的频域表达式为： （24）
???sin???2?矩形窗的主瓣宽度为
4?,第一旁瓣比主瓣低13dB，阻带最小衰减为21dB。 N19
在MATLAB中，矩形窗函数为boxcar,调用格式为： w=boxcar(N) 其中，N是窗函数的长度；返回值w是一个长度为N的矩形窗序列。 2、三角窗
三角窗的时域表达式为以下几种。
2n??窗长为奇数时： w(n)??N?12(N?n?1)??N?1?2n?1?N窗长为偶数时： w(n)??2(N?n?1)?N?N?12 （25）
N?1?n?N2N0?n?2 （26）
N?1?n?N20?n?2???(N?1)??sin????j??N?1????24????j??2???e它的频域表达式为： W(e)? （27）
?N?1????sin?????2???三角窗的主瓣宽度为
8?,第一旁瓣比主瓣低26dB，阻带最小衰减为25dB。 N 在MATLAB中，三角窗函数为triang,调用格式为： w=triang(N) 其中，N是窗函数的长度；返回值w是一个长度为N的三角窗序列。 3、汉宁窗
汉宁窗函数又称升余弦函数，是余弦平方函数。
?n???w(n)?0.5?1?cos2?RN(n) ???它的时域表达式为： （28） ??N?1????它的频域表达式为：
??2??2??????WR?w??? （29） W(e)?0.5WR(?)?0.25?WR?w? N?1N?1??????8?W(?)j?其中，
R为矩形窗的幅度函数。汉宁窗的主瓣宽度为
N,第一旁瓣比主瓣
低31dB，阻带最小衰减为44dB。
在MATLAB中，汉宁窗函数为hanning,调用格式为： w=hanning(N) 其中，N是窗函数的长度；返回值w是一个长度为N的汉宁窗序列。 4、哈明窗
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