＝24×1×3×5×7，…，第n个等式为(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)．
答案 (n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1) 4x
16．若函数f(x)＝2在区间(m,2m＋1)上是单调递增函数，则
x＋1实数m的取值范围是________．
4?x2＋1?－4x·2x4?1＋x??1－x?
解析 f′(x)＝＝，令f′(x)>0，得2222
?x＋1??x＋1?(1＋x)(1－x)>0，解得－1 ?m>－1， 则有? ?2m＋1<1， 解得－1 答案 (－1,0] 三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)用反证法证明：在△ABC中，若sinA>sinB，则∠B必为锐角． 证明 假设B不是锐角， 则0°<∠A<∠A＋∠C＝180°－∠B≤90°， ∴sinA 即sinA 118．(12分)已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，∫0f(x)dx ＝－2. (1)求f(x)的表达式； (2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值． 第 11 页 共 15 页 解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b. ???a－b＋c＝2，?c＝2－a， 由f(－1)＝2，f′(0)＝0，得?即? ???b＝0，?b＝0. ∴f(x)＝ax2＋2－a.又∵?1f(x)dx＝?1(ax2＋2－a)dx＝ ?0 ?0 ?13?? ?ax＋?2－a?x?? ?3?? 11 ＝a＋2－a＝－2，∴a＝6. 0 3 从而c＝－4.故f(x)＝6x2－4. (2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]，∴f(x)min＝－4.f(x)max＝f(－1)＝f(1)＝2.故f(x)在[－1,1]上的最大值为2，最小值为－4. 19．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极小值－7，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(－1,0)，(2,0)，如图所示，试求x0，a，b，c的值． 解 由y＝f′(x)的图象可知， 在(－∞，－1)上f′(x)<0，在(－1,2)上f′(x)>0，在(2，＋∞)上f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1,2)上递增，在(2，＋∞)上递减．因此，f(x)在x＝－1处取得极小值， 所以x0＝－1. ∵f(x)＝ax3＋bx2＋cx， ∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. 故由f′(－1)＝0，f′(2)＝0，f(－1)＝－7， 第 12 页 共 15 页 3a－2b＋c＝0，?? 得?12a＋4b＋c＝0，??－a＋b－c＝－7， 解得a＝－2，b＝3，c＝12. 20．(12分)设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)． (1)确定a的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值． 解 (1)∵f(x)＝a(x－5)2＋6lnx＝ax2－10ax＋25a＋6lnx， 66∴f′(x)＝2ax－10a＋x＝2a(x－5)＋x. 令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝－8a＋6. 故曲线在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)． 1 又点(0,6)在切线上，得6－16a＝8a－6，∴a＝2. 1 (2)由(1)知，f(x)＝2(x－5)2＋6lnx，(x>0)， 6?x－2??x－3? f′(x)＝x－5＋x＝. x令f′(x)＝0，得x1＝2，x2＝3. 当0 9 由此可知，当x＝2时，f(x)取得极大值f(2)＝2＋6ln2. 当x＝3时，f(x)取得极小值f(3)＝2＋6ln3. 21．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n 第 13 页 共 15 页 ∈N*)． (1)写出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式； (2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式． 243682n 解 (1)易求得S1＝1＝2，S2＝3，S3＝2＝4，S4＝5，猜想Sn＝. n＋12×1 (2)①当n＝1时，S1＝＝1，猜想成立． 1＋12k ②假设n＝k(k∈N*)时，Sk＝， k＋1则当n＝k＋1时， Sk＋1＝(k＋1)2ak＋1 ＝(k＋1)2(Sk＋1－Sk)， ?k＋1?22k2?k＋1? ∴Sk＋1＝2·＝， k＋2kk＋1?k＋1?＋1这表明当n＝k＋1时，猜想也成立． 根据①，②可知，对n∈N*， 2nSn2Sn＝，从而an＝n2＝. n＋1n?n＋1? k 22．(12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋2x2(k≥0)． (1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求f(x)的单调区间． 解 (1)当k＝2时，f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2， 1 f′(x)＝－1＋2x. 1＋x3 由于f(1)＝ln2，f′(1)＝2， 3 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－ln2＝2(x－1)， 第 14 页 共 15 页 即3x－2y＋2ln2－3＝0. x?kx＋k－1? (2)f′(x)＝，x∈(－1，＋∞)， 1＋xx 当k＝0时，f′(x)＝－， 1＋x 所以在区间(－1,0)上f′(x)>0；在区间(0，＋∞)上f′(x)<0， 故f(x)的单调增区间为(－1,0)，单调减区间为(0，＋∞)． x?kx＋k－1?1－k 当0 所以在区间(－1,0)和(k，＋∞)上f′(x)>0；在(0，k)上f′(x)<0， 1－k 故f(x)的单调增区间为(－1,0)和(k，＋∞)，单调减区间为(0，1－kk)． x2 当k＝1时，f′(x)＝>0，故f(x)的单调增区间为(－1，＋∞)． 1＋xx?kx＋k－1?1－k 当k>1时，由f′(x)＝＝0，得x1＝0，x2＝k∈(－ 1＋x1,0)， 1－k 所以在区间(－1，k)和(0，＋∞)上f′(x)>0； 1－k 在区间(k，0)上f′(x)<0， 1－k 故f(x)的单调增区间为(－1，k)和(0，＋∞)，单调减区间为1－k (k，0)． 第 15 页 共 15 页