第四章 向量组的线性相关性
一、选择题
1．下列说法正确的是（ D ）
（A）若有不全为零的数k1,k2,?,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0，则?1,?2,?,?s 线性无关
（B）若有不全为零的数k1,k2,?,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0，则?1,?2,?,?s线性无关
（C）若?1,?2,?,?s线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示 （D）任何n?1个n维向量必线性相关 2．设A为n阶方阵，且A?0，则（ D）。
（A）A中两行（列）对应元素成比例 （B）A中任意一行为其他行的线性组合 （C）A中至少有一行元素全为零
（D）A中必有一行为其他行的线性组合
3．设A为n阶方阵，r(A)?r?n，则在A的n个行向量中（ A ）。 （A）必有r个行向量线性无关
（B）任意r个行向量线性无关
（C）任意r个行向量都构成极大线性无关组
（D）任意一个行向量都能被其他r个行向量线性表示 4．n阶方阵A可逆的充分必要条件是（ B ）
（A）r(A)?r?n （B）A的列秩为n （C）A的每一个行向量都是非零向量 （D）A的伴随矩阵存在 5．n维向量组?1,?2,??,?s线性无关的充分条件是( B )
（A）?1,?2,?,?s都不是零向量
（B）?1,?2,?,?s中任一向量均不能由其它向量线性表示 （C）?1,?2,?,?s中任意两个向量都不成比例
（D）?1,?2,?,?s中有一个部分组线性无关
6．n维向量组?1,?2,??,?s(s?2)线性相关的充要条件是( D )
（A）?1,?2,?,?s中至少有一个零向量 （B）?1,?2,?,?s中至少有两个向量成比例 （C）?1,?2,?,?s中任意两个向量不成比例
（D）?1,?2,?,?s中至少有一向量可由其它向量线性表示
7．n维向量组?1,?2,??,?s(3?s?n)线性无关的充要条件是( C )
（A）存在一组不全为零的数k1,k2,?,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0 （B）?1,?2,?,?s中任意两个向量都线性无关
（C）?1,?2,?,?s中任意一个向量,都不能被其余向量线性表示 （D）?1,?2,?,?s中任一部分组线性无关
8．设?1,?2,??,?s均为n维向量,那么下列结论正确的是( B )
（A）若k1?1?k2?2???ks?s?0，则?1,?2,?,?s线性相关
（B）若对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks,都有k1?1?k2?2???ks?s?0,则
?1,?2,?,?s线性无关
（C）若?1,?2,?,?s线性相关,则对任意不全为零的数k1,k2,?,ks,都
k1?1?k2?2???ks?s?0
（D）若0?1?0?2???0?s?0,则?1,?2,?,?s线性无关 9． 已知向量组?1,?2,?3,?4线性无关，则向量组（ C ）
（A）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关 （B）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关 （C）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关
（D）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关
10．若向量?可被向量组?1,?2,?,?s线性表示，则（ C ）
（A）存在一组不全为零的数k1,k2,?,ks，使得??k1?1?k2?2???ks?s （B）存在一组全为零的数k1,k2,?,ks，使得??k1?1?k2?2???ks?s （C）存在一组数k1,k2,?,ks，使得??k1?1?k2?2???ks?s （D）对?的表达式唯一 二、填空题
1．?1?(1,3,5)T, ?2?(1,1,3)T, ?3?(1,a,6)T线性相关 ,则a的值为____4______。
2．若向量 (2,3,?1,0,1)T与 (?4,?6,2,a,?2)T线性相关，则a的取值为 0 。
3．设向量组?1?(1,2,3)T，?2?(2,1,3)T，?3?(?1,1,0)T,则向量组?1,?2,?3的秩是 2 。
4．已知向量组??(1,aa,2T)?,?2T(b1,b,?)?,2T，,则当c(c1,)常数a,b,c满足
___?b?a??c?a??c?b??0或者a,b,c互不相等_____时该向量组线性无关。 5．设向量组I：?1,?,?r 的秩为p， 向量组II：?1,?,?s 秩为q， 且向量组I 能由向量组II线性表出，则p与q的大小关系是___p?q ______________。
6．设?1,?2,?3,?4线性无关，且?1??1??2,?2??2??3,?3??3??4,?4??4??1， 则向量组?1,?2,?3,?4的秩为______3 。
?1?120???7．A??2?35?1?，则齐次线性方程组Ax?0的任一基础解系所含向量个数为
?01?11??? 2 。
8．设向量组 I:?1,?,?s线性无关，而?1,?2 都能由I 线性表出，则秩(?1,?,?s,?1,?2 ) = S 。 9．当a? 0,?111T11T11T 时,向量组?1?(a,?,),?2?(?,a,?),?3?(?,?,a)线2222222性相关。
10．已知一个向量组含有两个或两个以上的最大线性无关组,则各个最大线性无关组所含向量的个数必定 相等 。
11．设向量组?1,?2,?3线性相关,则向量组?1??2,?2??3,?3??1线性 相关 。
12．设A是n阶方阵,R?A??n?2,则线性方程组AX?0的基础解系所含向量的个数是
2 。
313．向量???1,1,0?,???0,1,1?,???1,1,1?是R的一组基，则向量???3,4,3?在该
TTTT基下的坐标为 ?1,1,2? 。
14．设向量 (1,5,?1)T与向量(?2,m,2)T线性相关, 则m?______-10 。
15．设?1?(1,1,0)T，?2?(0,1,1)T，?3?(1,1,1)T 是R的一组基，则??(3,1,?1)在该基下的坐标为 ?2,?2,1?。 三、判断题
1．3维向量组?1,?2,?3,?4必线性相关。1
2．如果向量组?1,?2,?,?s线性相关，那么这个向量组中一定有两个向量成比例。2 3．若向量组a1,a2,?,ar线性相关，则组中任一向量都可由其余向量线性表示。2 4．向量组?1,?2,?,?m中任意两个向量都线性无关，则向量组线性无关。2 5．若?,?是线性方程组Ax?b的两个解向量， 则???是方程组Ax?0的解。1 6．向 量 组( I ):?1?(1,2)T,?2?(2,?3)T 与向量组( II ):?1?(1,?1)T,?2?(2,1)T等价。1
7．设向量组I：?k1,?k2,?,?ks 是向量组II：?1,?2,?,?p的部分组，如果向量组I线性相关，则向量组II也线性相关。1
8．设向量组I：?k1,?k2,?,?ks是向量组II：?1,?2,?,?p的部分组，如果向量组I线性无关，则向量组II也线性无关。2
9．如果向量组?1,?,?s,?1,?2 线性无关，则向量组 ?1,?,?s 也线性无关。1 10．如果向量组?1,?2,?,?m 线性无关，则该向量组的任何部分组必线性无关。1 11．设向量组?1,?2,?3线性无关,于是向量组?1??2,?2??3,?3??1也线性无关。1 12．设n维向量组?1,?2,?,?s线性相关,于是?,?1,?2,?,?s也线性相关,其中?为一n维
3
T
向量。1
13．若向量组?1,?2,?,?n线性相关,则?1一定可由?2,?,?n线性表示。2 14．设向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)可互相线性表示,则秩(Ⅰ)= 秩(Ⅱ)。1 15．设向量组?1,?2,?,?s线性相关,则该向量组中一定含有零向量。2
16．若?是AX?0的解,若?是AX?b(b?0)的解，则???是AX?b的解。1 17．包含零向量的向量组是线性相关的。1
18．若?1,?2是AX?b(b?0)的解，则?1??2也是AX?b的解。2
第五章 相似矩阵及二次型
一、判断题
1.线性无关的向量组必是正交向量组.( 2 )
2.正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组.( 1 ) 3.正交矩阵一定是可逆矩阵.( 1 )
4.若n阶矩阵A与B相似,则A与B不一定等价.( 2)
5.若n阶矩阵A有n不同的特征值，则A相似于对角矩阵.( 1 ) 6.实对称矩阵一定可以相似对角化.( 1 ) 7. 相似矩阵的行列式必相同.( 1 )
8.若n阶矩阵A和B相似，则它们一定有相同的特征值.(1 )
9．n阶实对称矩阵A的属于两个不同特征值的两个特征向量一定正交.( 1 ) 10. 若A是正定矩阵，则A的特征值全为正.( 1 ) 二、单项选择题
?001???1. 设A??010?,则A的特征值是( A ).
?100???(A) -1,1,1 (B) 0,1,1 (C) -1,1,2 (D) 1,1,2
2. 若x1,x2分别是方阵A的两个不同的特征值对应的特征向量,则k1x1?k2x2也是A的特征向量的充分条件是( D ).
(A) k1?0且k2?0 (B) k1?0且k2?0 (C) k1k2?0 (D) k1?0且k2?0 3. 若n阶方阵A,B的特征值相同,则( B ).