第三章 导数
导数与函数的单调性、极值、最值
【背一背重点知识】
1. 求函数单调区间的步骤：(1）确定f(x)的定义域，(2）求导数f'(x)，(3）令f'(x)?0(或f'(x)?0),解出相应的x的范围.当f'(x)?0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)?0时，f(x)在相应区间上是减函数
2. 求极值常按如下步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程f'(x)?0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；④通过列表法, 检查在可能极值点的左右两侧的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．. 3. 求函数y?f(x)在?a,b?上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y?f(x)在?a,b?内的极值；
(2)将函数y?f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【讲一讲提高技能】
1.必备技能：函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质，函数的单调区间是函数的定义域的子区间，求函数的单调区间时千万不要忽视函数的定义域．如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．
利用导数研究函数最值问题讨论思路很清晰，但计算比较复杂，其次有时需要二次求导研究导函数的最值来判断导函数的正负．
根据函数的导数研究函数的单调性，在函数解析式中若含有字母参数时要进行分类讨论，这种分类讨论首先是在函数的定义域内进行，其次要根据函数的导数等于零的点在其定义域内的情况进行，如果这样的点不止一个，则要根据字母参数在不同范围内取值时，导数等于零的根的大小关系进行分类讨论，最后在分类解决问题后要整合一个一般的结论． 2.典型例题： 例1 函数f(x)?1314x?x在区间??3,3?上的极值点为________． 342例2已知不等式ax?bx?c?0的解集??1,3?，则函数f(x)??13bx?ax2?cx?m单调递增区间为6( )
A. (-?,-1), B. (-1,3) （3，??）【练一练提升能力】
1.设f(x)是定义在R上的函数，其导函数为f?(x)，若f(x)+f?(x)?1，f?0??2015，则不等式
C.( -3,1) D.(??,?3), （1，??）exf(x)?ex?2014（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．?2014,2015? B．???，0???2015, ??? C．?0，??? D．?-?，0?
2. 设a?R，若函数y?ex?ax,x?R有大于零的极值点，则 （ ） A．a??1 B．a??1 C．a?? D．a??
利用导数探求参数的范围问题
【背一背重点知识】
[来源:Zxxk.Com]1e1e
1. 由函数的单调性求参数的取值范围，这类问题一般已知f(x)在区间I上单调递增(递减)，等价于不等式f(x)?0(或f(x)?0)在区间I上恒成立，通过分离参数求得新函数的最值，从而求出参数的取值范围． 2.常见结论：(1)若?x?I，f(x)?0恒成立，则f(x)min?0; 若?x?I，f(x)?0恒成立，则
''f(x)max?0
(2)若?x0?I，使得f(x0)?0，则f(x)max?0；若?x0?I，使得f(x0)?0，则f(x)min?0.
x?D f(x)?g(x)恒成立，则有?f(x)?g(x)?min?0.
(3)设f(x)与g(x)的定义域的交集为D，若?(4)若对?(5)若对?x1?I1、x2?I2 ，f(x1)?g(x2)恒成立，则f(x)min?g(x)max. x1?I1，?x2?I2，使得f(x1)?g(x2),则f(x)min?g(x)min. x1?I1，?x2?I2，使得f(x1)?g(x2)，则f(x)max?g(x)max.
(6)若对?(7)已知f(x)在区间I1上的值域为A,，g(x)在区间I2上值域为B，若对?x1?I1,?x2?I2，使得
f(x1)=g(x2)成立，则A?B.
(8)若三次函数f(x)有三个零点，则方程f?(x)?0有两个不等实根x1、x2，且极大值大于0，极小值小于0.
(9)证题中常用的不等式:① lnx?④ e?xx?1(x?0)； ② ln（x+1）?x(x??1)；③ ex?1?x；
?1?x；⑤
lnxx?1lnx11?(x?1)； ⑥ 2??(x?0) x?12x22x2【讲一讲提高技能】
1.必备技能：不等式恒成立求参数取值范围问题经常采用下面两种方法求解：一是最常使用的方法是分离参数求最值，即要使a?g?x?恒成立，只需a?g?x?maxx，要使a?g?x?恒成立，只需a?g?x?min，从而转化为求f(x)的最值问题．二是，当参数不宜进行分离时，还可直接求最值建立关于参数的不等式求解，例如：要使不等式f(x)?0恒成立，可求得f(x)的最小值h?a?，令h?a??0即可求出a的范围． 2.典型例题：
例1设f(x)?ex?a(x?1)，若a?0,f(x)?0对一切x?R恒成立，求a的最大值 ．
lnx??x?b??1?例2已知函数f?x??（b?R）．若存在x??,2?，使得f?x??xf??x??0，则实数b的
x?2?取值范围是（ ）
A．???,? B．???,? C．???,3? D．??,2 【练一练提升能力】
1. 已知函数f(x)?a(x?)?2lnx(a?R)，g(x)??成立，则实数a的范围为( )
2??3?2???9?4???1xa，若至少存在一个x0?[1,e]，使f(x0)?g(x0)x22，+∞) B．(0，+∞) C．[0，+∞) D．(，+∞) ee12x22.已知函数f?x??x?e??x?0?与g?x??x?ln?x?a?的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a2 A．[的取值范围是
A．???,??1?1??1??,e? C．??,e D．??e,? B．???
e?ee??????
利用定积分求解平面图形的面积 【背一背重点知识】 定积分求曲边梯形面积：
1.由三条直线x?a,x?b?a?b?，x轴及一条曲线y?f(x) (f(x)?0)围成的曲边梯的面积
S??f(x)dx.
ab
2.如果图形由曲线y1?f1(x)，y2?f2(x)（不妨设f1(x)?f2(x)?0），及直线x?a,x?b?a?b?围成，那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝
?baf1(x)dx??f2(x)dx.
ab
3. 如果图形由曲线y?f(x)以及直线x?a,x?b?a?b?如下图围成，那么所求图形的面积为x轴上方的积分值，加上x轴下方的积分值的相反数．
【讲一讲提高技能】 1必备技能：
[来源:学|科|网Z|X|X|K]
定积分的应用及技巧：(1)对被积函数，要先化简，再求定积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段求定积分再求和．(3)对含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能求定积分．(4)应用定积分求曲边梯形的面积，解题的关键是利用两条曲线的交点确定积分区间以及结合图形确定被积函数．求解两条曲线围成的封闭图形的面积一般是用积分区间内上方曲线减去下方曲线对应的方程、或者直接作差之后求积分的绝对值，否则就会求出负值．
[易错提示] 在使用定积分求两曲线围成的图形的面积时，要注意根据曲线的交点判断这个面积是怎样的定积分，既不要弄错积分的上下限，也不要弄错被积函数．
[来源:学科网]
用微积分基本定理求定积分时，要掌握积分与导数的互逆关系及求导公式的逆向形式． 2典型例题：
例1由直线x?1,x?2，曲线y?A．
1及x轴所围图形的面积为（ ） x117 B． C．ln2 D．2ln2
445?)在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是（ ） 6[来源:学#科#网Z#X#X#K]例2如图是函数y?cos(2x?A．
33353 B． C． D．?
24442
y ??12 ?6O x
【练一练提升能力】
1. 函数f(x)?x?2x?m(x,m?R)的最小值为?1，则?f(x)dx等于 （ ）
122 A．2 B．
3?4016 3C．6 D．7
2.若
??x?a?dx??12cos2xdx，则a等于（ ）
A．?1 B．1 C．2 D．4