1
1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0
2
等于( )
A．1 B．2 C．3 D．0 答案：C
2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成( )
A．假设n＝2k＋1(k∈N*)时命题成立，再推n＝2k＋3时命题成立 B．假设n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，再推n＝2k＋1时命题成立 C．假设n＝k(k∈N*)时命题成立，再推n＝k＋1时命题成立 D．假设n＝k(k≥1)时命题成立，再推n＝k＋2时命题成立 答案：B
3．(教材习题改编)数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( )
A．3n－2 B．n2
－
C．3n1 D．4n－3 答案：B
111127
4．用数学归纳法证明不等式：1＋＋＋?＋n－1＞(n∈N*)成立，其初始值至少应
24642
取( )
A．7 B．8 C．9 D．10
11－n
21111
解析：选B.左边＝1＋＋＋?＋n－1＝＝2－n－1，
24122
1－2
代入验证可知n的最小值为8.
111
5．用数学归纳法证明：“1＋＋＋?＋n
232－1
式成立，推理n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．
答案：2k
6．设S1＝12，S2＝12＋22＋12，?，Sn＝12＋22＋32＋?＋n2＋?＋22＋12，用数学归纳
n?2n＋1?
法证明Sn≥时，第二步从k到k＋1应添加的项为________．
3
解析：当n＝k时，左端为12＋22＋32＋?＋k2＋?＋22＋12；
当n＝k＋1时，左端为1＋22＋32＋?＋k2＋(k＋1)2＋k2＋?＋22＋12. 答案：(k＋1)2＋k2
1
1．在数列{an} 中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为
3
( )
11
A. B. ?n－1??n＋1?2n?2n＋1?
11
C. D. ?2n－1??2n＋1??2n＋1??2n＋2?
1
解析：选C.由a1＝，Sn＝n(2n－1)an，
3
得S2＝2(2×2－1)a2，即a1＋a2＝6a2，
11
∴a2＝＝，S＝3(2×3－1)a3，
153×5311
即＋＋a3＝15a3. 315
111
∴a3＝＝，a4＝.故选C .
355×77×9
2．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于( )
A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立 C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对
解析：选B.本题证的是对n＝1,3,5,7，?命题成立，即命题对一切正奇数成立．
－
3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋?＋2n1＝2n－1(n∈N*)的过程中，第二步假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，则n＝k＋1时应得到( )
－－＋
A．1＋2＋22＋?＋2k2＋2k1＝2k1－1
＋－＋
B．1＋2＋22＋?＋2k＋2k1＝2k1－1＋2k1
－＋＋
C．1＋2＋22＋?＋2k1＋2k1＝2k1－1
－
D．1＋2＋22＋?＋2k1＋2k＝2k－1＋2k
解析：选D.由n＝k到n＝k＋1等式的左边增加了一项，故选D.
－
4．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋?＋n×3n1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为( )
111
A．a＝，b＝c＝ B．a＝b＝c＝ 244
1
C．a＝0，b＝c＝ D．不存在这样的a、b、c
4
解析：选A.∵等式对一切n∈N*均成立， ∴n＝1,2,3时等式成立，即
1＝3?a－b?＋c??
?1＋2×3＝32?2a－b?＋c??1＋2×3＋3×32＝33?3a－b?＋c3a－3b＋c＝1??
整理得?18a－9b＋c＝7
??81a－27b＋c＝34
，
5．用数学归纳法证明当n∈N*时1＋2＋22＋23＋?＋25n－1是31的倍数时，当n＝1
时原式为________，从k→k＋1时需增添的项是____________．
解析：把n＝k，n＝k＋1相比较即可得出．
＋＋＋＋
答案：1＋2＋22＋23＋24 25k＋25k1＋25k2＋25k3＋25k4
6．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)?(n＋n)＝2n×1×3×?×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是________．
解析：当n＝k(k∈N*)时，左式为(k＋1)(k＋2)·?·(k＋k)； 当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·?·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k) ·(k＋1＋k＋1)，
11
，解得a＝，b＝c＝.
24
?2k＋1??2k＋2?
则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1)．
k＋1
答案：2(2k＋1)
7．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．
(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
3715
解：(1)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，
248n
2－1
由此猜想an＝n－1(n∈N*)．
2
(2)①当n＝1时，a1＝1，结论成立． ②假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，
2k－1
即ak＝k－1，那么n＝k＋1(k∈N*)时，
2
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak ＝2＋ak－ak＋1.∴2ak＋1＝2＋ak.
2k－12＋k－1＋
22＋ak2k1－1
∴ak＋1＝＝＝，
222k这表明n＝k＋1时，结论成立．
2n－1*
由①②知，对n∈N，都有an＝n－1成立．
2
1．下列代数式(其中k∈N)能被9整除的是( )
－
A．6＋6·7k B．2＋7k1
＋
C．2(2＋7k1) D．3(2＋7k)
解析：选D.(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．
＋
(2)假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n1)＝21(2＋7n)－36.
这就是说，k＝n＋1时命题也成立． 由(1)(2)知，命题对k∈N*成立．
2．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断前10件首饰所用珠宝总颗数为( )
*
A．190 B．715 C．725 D．385
解析：选B.由条件可知前5件首饰的珠宝数依次为：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，即每件首饰的珠宝数为一个以1为首项，4为公差的等差数列的前n项和，
n[1＋?4n－3?]
通项an＝4n－3.由此可归纳出第n件首饰的珠宝数为＝2n2－n.则前n件首饰所
23
4n＋3n2－n222
用的珠宝总数为2(1＋2＋?＋n)－(1＋2＋?＋n)＝.当n＝10时，总数为715.
6
11
3．在各项为正数的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝(an＋)，则a3＝
2an
__________，猜想数列{an}的通项公式为________．
11
解析：(1)由Sn＝(an＋)可计算出a1＝1，a2＝2－1，a3＝3－2.
2an(2)由a1，a2，a3可归纳猜想出an＝n－n－1.
答案：3－2 n－n－1
4．如果不等式2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立，则n的最小值为________． 解析：当n＝1时，2>2不成立， 当n＝2时，4>5不成立． 当n＝3时，8>10不成立． 当n＝4时，16>17不成立． 当n＝5时，32>26成立．
当n＝6时，64>37成立，由此猜测n的最小值应取5. 答案：5
1*
5．首项为正数的数列{an}满足an＋1＝(a2n＋3)，n∈N. 4
(1)证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数； (2)若对一切n∈N*都有an＋1>an，求a1的取值范围．
解：(1)证明：已知a1是奇数，假设ak＝2m－1是奇数，其中m为正整数，则由递推关
a2k＋3
系得ak＋1＝＝m(m－1)＋1是奇数．
4
根据数学归纳法，对任意n∈N*，an都是奇数．
1
(2)由an＋1－an＝(an－1)(an－3)知，当且仅当an<1或an>3时，an＋1>an.
4
1＋3
另一方面，若0
4
32＋3
若ak>3，则ak＋1>＝3.
4
根据数学归纳法可知，?n∈N*,03?an>3.
综上所述，对一切n∈N*，都有an＋1>an，则a的取值范围是03.
11?311，时，f(x)≥. 6．已知函数f(x)＝ax－x2的最大值不大于，又当x∈??42?268
(1)求a的值；
11
(2)设0
2n＋1
解：(1)由题意知，
323?a?2a2
f(x)＝ax－x＝－?x－3?＋.
2261
又f(x)max≤，
62
a?a12∴f?＝≤，∴a≤1. ?3?66
11?1，时，f(x)≥， 又x∈??42?81?1a31f?≥－≥?2?8288∴，即，解得a≥1.
1a311?－≥f?4328?4?≥8
???
???
又∵a2≤1，∴a＝1.
3
(2)证明：由(1)知f(x)＝x－x2，
2
用数学归纳法证明：
1
①当n＝1时，0
2
210，?时，0 11 ∴0 63 故n＝2时，原不等式也成立． 1 ②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式0 k＋1 31 ∵f(x)＝x－x2的对称轴为直线x＝， 231 0，?时，f(x)为增函数， ∴当x∈??3? 111 ∴由0 ??k＋13 1113 于是，0 ??k＋12?? 13111＝－×－ 2＋k＋12?k＋1?k＋2k＋2 k＋411 ＝－<. 2k＋22?k＋1??k＋2?k＋2 ∴当n＝k＋1时，原不等式也成立． 1 根据①②知，对任何n∈N*，不等式an<成立． n＋1