8.3 抛物线
●知识梳理 定义 到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹 方程 p，0） 2p2.x2=2py（p≠0），焦点是F（0，） 21.y2=2px（p≠0），焦点是F（S：y2=2px（p＞0） 1.范围：x≥0 2.对称性：关于x轴对称 3.顶点：原点O 性质 4.离心率：e=1 5.准线：x=－p 2p 26.焦半径P（x，y）∈S，|PF|=x+思考讨论 对于抛物线x2=2py（p＞0），其性质如何？焦半径公式如何推导？
●点击双基
1.（2004年春季北京）在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为
A.D.4
解析：抛物线的准线方程为x=－4+
1 B.1 C.2 2p，由抛物线的定义知2p=5，解得P=2. 2答案：C
2.设a≠0，a∈R，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为 A.（a，0） B.（0，a） C.（0，
1） D.随a符号而定 16a解析：化为标准方程. 答案：C
3.以抛物线y2＝2px（p＞0）的焦半径｜PF｜为直径的圆与y轴位置关系为
A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定 解析：利用抛物线的定义.
答案：C
y2x24.以椭圆 +=1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的
2516抛物线与椭圆右准线交于A、B两点，则|AB|的值为___________.
25，所求抛物线方程为3100252550y2= x.又椭圆右准线方程为x=，联立解得A（，）、B
33332550（，－）.
33100∴|AB|=.
3100答案：
3解析：中心为（0，0），左准线为x=－
5.（2002年全国）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.
能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）
解析：由抛物线方程y2=10x可知②⑤满足条件. 答案：②⑤ ●典例剖析
【例1】 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
（1）过点（－3，2）；
（2）焦点在直线x－2y－4=0上.
剖析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论.
解：（1）设所求的抛物线方程为y2=－2px或x2=2py（p＞0）， ∵过点（－3，2），
∴4=－2p（－3）或9=2p·2.
∴p=
29或p=. 3449x或x2=y，前者的准线方程是32∴所求的抛物线方程为y2=－x=
19，后者的准线方程是y=－. 38（2）令x=0得y=－2，令y=0得x=4， ∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2）. 当焦点为（4，0）时，
p=4， 2∴p=8，此时抛物线方程y2=16x；
焦点为（0，－2）时，
p=2， 2∴p=4，此时抛物线方程为x2=－8y.
∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=－8y，对应的准线方程分别是x=－4，y=2.
评述：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.
【例2】如下图所示，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且|NB|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.
l2BAMNl1
剖析：由题意所求曲线段是抛物线的一部分，求曲线方程需建立适当的直角坐标系，设出抛物线方程，由条件求出待定系数即可，求出曲线方程后要标注x、y的取值范围.
解：以直线l1为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段.其中A、B分别为曲线段C的端点.
设曲线段C的方程为y2=2px（p>0）（xA≤x≤xB，y>0），其中xA、xB为A、B的横坐标，p=|MN|，
所以M（－
pp，0） 、N（，0）. 22由|AM|=17，|AN|=3，得 （xA+
p2
）+2pxA=17， 2
①
（xA－
p2
）+2pxA=9. 2
②
①②联立解得xA=
4，代入①式，并由p>0， p p=4， p=2， 解得 或xA=1 xA=2. 因为△AMN为锐角三角形，所以 P=2， P=4， 故舍去 所以
xA=2. xA=1.
p>xA. 2由点B在曲线段C上，得xB=|BN|－
p=4. 2综上，曲线段C的方程为y2=8x（1≤x≤4，y>0）.
评述：本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法、待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力.
【例3】 设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.
剖析：证直线AC经过原点O，即证O、A、C三点共线，为此只需证kOC=kOA.本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决.
证法一：设AB：x=my+
p，代入y2=2px，得y2－2pmy－P2=0. 2由韦达定理，得yAyB=－p2，
p2即yB=－.
yA∵BC∥x轴，且C在准线x=－
p上， 2p，yB）. 2y2pyA则kOC=B===kOA.
pyAxA?2∴C（－
故直线AC经过原点O.
证法二：如下图，记准线l与x轴的交点为E，过A作AD⊥l，垂足为D.
yD OE C lNFB x A 则AD∥EF∥BC.连结AC交EF于点N，则
|EN||CN||BF|==，|AD||AC||AB||NF||AF|=. BC|AB|∵|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，
|AD|?|BF||AF|?|BC|∴|EN|===|NF|，
|AB||AB|即N是EF的中点.从而点N与点O重合，故直线AC经过原点O.
评述：本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力.在涉
及解析思想较多的证法中，关键是得到yA·yB=－p2这个重要结论.还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目.
思考讨论
本题也可用平面向量来证明，读者不妨一试.
●闯关训练 夯实基础
1.（2003年高考·新课程）设a>0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为
π］，411］ B.［0，］ a2abb?1C.［0，||］ D.［0，||］
2a2aA.［0，
解析：tanα=k=f′（x）=2ax+b，
∴0≤2ax0+b≤1. ∴0≤x0+
b1≤. 2a2a答案：B
2.（2004年全国Ⅰ，8）设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是
A.［－
11，］ B.［－2，2］ 22C.［－1，1］ D.［－4，4］ 解析：∵y2=8x，∴Q（－2，0）（Q为准线与x轴的交点），设过Q点的直线l方程为y= k（x+2）.
∵l与抛物线有公共点， y2=8x， ∴方程组 有解，
y=k（x+8）
即k2x2+（4k2－8）+4k2=0有解.
∴Δ=（4k2－8）2－16k4≥0，即k2≤1. ∴－1≤k≤1. 答案：C
3.（2003年春季上海）直线y=x－1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是___________.
解析：将y=x－1代入抛物线y2=4x，经整理得x2－6x+1=0.
由韦达定理得x1+x2=6，
x1?x2=3， 2y1?y2x1?x2?26?2===2.
222∴所求点的坐标为（3，2）.
答案：（3，2）
4.在抛物线y=4x2上求一点，使该点到直线y=4x－5的距离最短，该点的坐标是____________.
解法一：设与y=4x－5平行的直线y=4x+b与y=4x2相切，则y=4x+b代入y=4x2，得 4x2－4x－b=0. ①
Δ=16+16b=0时b=－1，代入①得x=∴所求点为（
1， 21，1）. 2解法二：设该点坐标为A（x0，y0），那么有y0=4x02.设点A到直线y=4x－5的距离为d，则
d=
|4x0?y0?5|42?1117=
1171|－4x02+4x0－5|
=
|4x02－4x0+5|=
17|4（x0－
12
）+1|. 2当且仅当x0=将x0=
1时，d有最小值， 21代入y=4x2解得y0=1. 21故A点坐标为（，1）.
21答案：（，1）
25.下图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A（0，9），其轨迹方程是y=ax2+c（a＜0），D=（6，7）为x轴上的给定区间.
y9 A P O6 7x （1）为使物体落在D内，求a的取值范围； （2）若物体运动时又经过点P（2，8.1），问它能否落在D内？并说明理由.
解：（1）把点A的坐标（0，9）代入y=ax2+c得c=9，即运动物体的轨迹方程为y=ax2+9.
令y=0，得ax2+9=0，即x2=－
9. a9＜7， a若物体落在D内，应有6＜?