www. zgjhjy.com
3、（2012山东莱芜）如图，顶点坐标为(2，－1)的抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，3)， 与x轴交于A、B两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；
(3)点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使 得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．[来源:
2
- 6 -细节决定未来- 6 -
www. zgjhjy.com
专题4：三角形四边形存在性问题
参考答案
例题1：【答案】解：（1）由x－7 x +12=0解得x1=3，x2=4。
∵OA＜OB ，∴OA=3 , OB=4。∴A(0，3)， B(4，0)。
(2) 由OA=3 , OB=4，根据勾股定理，得AB=5。
由题意得，AP=t, AQ=5－2t 。分两种情况讨论： ①当∠APQ=∠AOB时，如图1，△APQ∽△AOB。
∴
APAO?AQAB2
，即
t3?5?2t5 解得 t=
1511。∴Q（
2011， 1811）。
②当∠AQP=∠AOB时，如图2， △APQ∽△ABO。
∴
APAB?AQAO45，即
225t5?5?2t3 解得 t=
422513。∴Q（
481213， 3013）。
（3）存在。M1（，
）， M2（，，M3（?，。 ） ）
5555【考点】动点问题，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的性质，平行四边形的判定。 【分析】（1）解出一元二次方程，结合OA＜OB即可求出A、B两点的坐标。 （2）分∠APQ=∠AOB和∠AQP=∠AOB两种情况讨论即可。
（3）当t=2时，如图，OP=2，BQ=4，∴P（0，1），Q（， 54125）。
若以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则 ①当AQ为对角线时，点M1的横坐标与点Q的横坐标相同， 纵坐标为
125+2=225 。∴M1（，54225）。
②当PQ为对角线时，点M2的横坐标与点Q的横坐标相同， 纵坐标为
125?2=25 ）。∴M2（，。
5542③当AP为对角线时，点Q、M3关于AP的中点对称。 由A(0，3)，P（0，1）得AP的中点坐标为（0，2）。
由Q（，54125）得M3的横坐标为2?0?45=?45，纵坐标为2?2?125=85 ）。∴M3（?，。
5548综上所述，若以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则M点的坐标为
（，54225 ） ）或（?，）或（，。
55554248
- 7 -细节决定未来- 7 -
www. zgjhjy.com
例题2：【答案】解：（1）在y?x?2中，由x=0得y=－2，∴C（0，－2）。 由 y=0得 x=2，∴A（2，0）。 ∵AB=2，∴B（4，0）。
∴可设抛物线的解析式为y?a?x?2??x?4?，代入点C（0，－2）得a??∴抛物线的解析式为y???x?2??x?4???4114x?214。
32x?2。
（2）由题意：CE=t，PB=2t，OP=4－2t。
∵ED∥BA，∴△CED∽△COB。 ∴
ED?OPED?OP2t+?4?2t?2t??4?2t?2EDOB?CECO，即
1ED4?t2。∴ED=2t。
∴s?==4?4t+8t2=??t?1?+12。
∴当t=1时，??t?1?+1有最大值1。 ∴当t=1时，s?ED?OPED?OP的值最小，最小值是1。
（3）存在。设BC所在直线的解析式为y=kx+b，由B（4，0），C（0，－2）得
1?1?4k+b=0?k= ?，解得?2，∴C所在直线的解析式为y=x?2。
2?b=?2?b=?2? 由题意可得：D点的纵坐标为t－2，则D点的横坐标为2t。 ∴BD??4?2t???t?2?=5?2?t?。 又BC?OB?OC2222?4?2?25。
22∵∠PBD=∠ABC，∴以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况： 当
BPAB?BDBC时，即
2t2?5?2?t?25，解得t?23；
当
BPBD?BCBA时，即
232t5?2?t??252，解得t?107。
综上所述，当t?或t?107时，以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】（1）求出C、A、B的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x－2）（x－4），代入点C坐标求出a即可。
- 8 -细节决定未来- 8 -
www. zgjhjy.com
（2）由题意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，由ED∥BA得出△CED∽△COB ，从而
ED=2CE=2t，根据s?ED?OPED?OP1??t?1?+1BPAB?BDBC2EDOB?CECO，求出
= ，根据二次函数的最值求出即可。
BPBDBCBA（3）以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：例题3：【答案】解：（1）B（3，0），C（0，3）。 ∵A（—1，0）B（3，0）
和
?代入求出即可。
∴可设过A、B、C三点的抛物线为y=a?x+1??x?3??a?0? 。
又∵C（0，3）在抛物线上，∴3=a?0+1??0?3?，解得a=?∴经过A、B、C三点的抛物线解析式 y=?（2）①当△OCE∽△OBC时，则
OCOB?OEOC3333。
33x+2?x+1??x?3?即y=?233 x+3。。
33x?13 ∵OC=3， OE=AE—AO=x－1， OB=3，∴ ∴当x=2时，△OCE∽△OBC。
②存在点P。
?。∴x=2。
由①可知x=2，∴OE=1。∴E（1，0）。 此时，△CAE为等边三角形。 ∴∠AEC=∠A=60°。
又∵∠CEM=60°， ∴∠MEB=60°。
∴点C与点M关于抛物线的对称轴
23x=?b2a=?3?3?2????3??=1对称。
∵C（0，3），∴M（2，3）。 过M作MN⊥x轴于点N（2，0），
∴MN=3。 ∴ EN=1。
∴ EM?EN?MN22?1+2??32?2。
若△PEM为等腰三角形，则：
ⅰ)当EP=EM时, ∵EM=2，且点P在直线x=1上，∴P(1，2)或P（1，－2）。
- 9 -细节决定未来- 9 -
www. zgjhjy.com
ⅱ）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，∴P(1，23) 。 ⅲ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点，∴P(1， ∴综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1，23）或（1，△EPM为等腰三角形。
【考点】二次函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形判定。 【分析】（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OC和AB的长，从而求得点 B、C的坐标。设定交点式，用待定系数法，求得抛物线解析式。
（2）①根据相似三角形的性质，对应边成比例列式求解。
②求得EM的长，分EP=EM， EM=PM和PE=PM三种情况求解即可。
巩固练习答案
1、【答案】解：（1）①∵直线y=2x?5与x轴和y轴分别交于点A和点B，∴A（
当顶点M与点A重合时，∴M（
5252233)
233）时，
，0），B（0，－5）。
，0）。
25?25?∴抛物线的解析式是：y=??x??，即y=?x2+5x?。
2?4?②∵N是直线y=2x?5与在抛物线y=?x2+5x??y=2x?5?∴?25，解得2y=?x+5x??4?254的交点，
15???x=?x=2或?2。 ??y=?4?y=0??∴N（
12，－4）。
如图，过N作NC⊥x轴，垂足为C。 ∵N（
12，－4），∴C（
12，0）
52?12?2。
∴NC=4．MC=OM－OC=MC?OM?OC?∴MN?NC?MC22?4?2?25。
22（2）存在。点M的坐标为（2，－1）或（4，3）。
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。
- 10 -细节决定未来- 10 -