上海市建平中学2009—2010学年度高三第一学期十二月月考数学试题 - 1 -
上海市建平中学
2009—2010学年度高三第一学期十二月月考
数 学 试 题
（ 2009年12月10日 15：00 — 17：00 ）
一、填空题（本大题满分56分） 本大题共有14题，将结果直接填写在答题纸相应的空格内
1?x?2},B?{xx2?1}，则A?B?__________ 22、函数f(x)???arcsinx 的值域为 ___________
1、设集合A?{x|?3、函数y?log1(x?2x)的单调递减区间是_____________
2o4、已知?ABC中，?A,?B,?C的对边分别为a,b,c，若a?c?6?2且?A?75，则b?________
24?,0)中心对称，那么?的最小值为 36、已知等比数列{an}满足an?0,n?1,2,?，且a5?a2n?5?22n(n?3)，则当n?1时，
log2a1?log2a3???log2a2n?1?__________ 5、如果函数y?3cos(2x??)的图像关于点(7、已知?an?为等差数列，a1+a3+a5=105，a2?a4?a6=99，以Sn表示?an?的前n项和，则使得Sn达
到最大值的n是________ 8、已知数列{an}满足：a4n?3?1,a4n?1?0,a2n?an,n?N?,则a2009?a2014?___________
9、某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，
要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x? 吨．
时，不等式sin10、当0?x?1?x2?kx成立，则实数k的取值范围是__________
11、设?an?是公比为q的等比数列，|q|?1，令bn?an?1(n?1,2,?)，若数列?bn?有连续四项在集合
??53,?23,19,37,82?中，则6q= 12、（文）已知函数f(x)?sinx?tanx.项数为27的等差数列?a?满足an????且公差d?0.???，?，n?22?若f(a1)?f(a2)???f(a27)?0，则当k=______时，f(ak)?0.
（理）已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意非零的实数a,b?R，满足
f(b)f(a),1f(2n)f(a?b)??f(2)?,an?(n?N?),bn?2nf(2n)(n?N?)
ab2n考查下列结论：（1）f(1)?f(?1)；（2）f(x)为偶函数；（3）数列?an?为等比数列；（4）数列?bn?为等差数列。其中正确的是__________
13、对于各数互不相等的整数数组(i1,i2,?,in) (n是不小于2的正整数)，如果在p?q 时，有ip?iq，则
称ip与iq是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”。例如，数组(2,4,3,1)中有逆序“2,1”，“4,3”，“4,1”，“3,1”，其“逆序数”等于4。若各数互不相等的正整数数组
(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8)的“逆序数”是2， 则(a8,a7,a6,a5,a4,a3,a2)的“逆序数”至少
是 .
14、（文）设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2, ［
5］=1）,对于给定的n?N*,定义4上海市建平中学2009—2010学年度高三第一学期十二月月考数学试题 - 2 -
C?xnn(n?1)?(n??x??1)?3?,x??1,???,则当x??,3?时，函数C8x的值域是
x(x?1)?(x??x??1)?2?______________________
2 （理）将正⊿ABC分割成n（n≥2，n∈N）个全等的小正
三 角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，…，f(n)=_____________
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，在答题纸上将代表正确答案的小方格涂黑 15、“sinA?1”是“A=30o”的（ ） 2111??????的值的一个程序框图，其中判断框内应填3599A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 16、右图给出的是计算1?入的条件是（ ）
A．i＞49 B．i＞50 C．i＞51 D． i＞52
17、设函数y?f(x)在（??，+?）内有定义。对于给定的正数K，
定义函数： fk(x)??x?f(x),f(x)?K
?K,f(x)?K取函数f(x)=1?e。若对任意的x?(??,??)，恒有fk(x)=f(x)，则（ ） A．K的最大值为2 B. K的最小值为2
C．K的最大值为1 D. K的最小值为1 18、如图所示，一质点P(x,y)在xOy平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x轴上的投影点Q(x,0)的运动速度V?V(t)的图象大致为（ ） V(t)V(t)V(t)yP(x,y)V(t)OQ(x,0)xOtOtOtOt A B C D
三、解答题（本大题满分78分） 本大题共有5题，须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤 19、（本小题满分14分）第1小题满分7分，第2小题满分7分
设函数f(x)?cos(2x?
?3)?sin2x，
（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期； （2）解三角方程：f(x)?0.
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20、（本小题满分14分）
b、在?ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、已知a?c?2b，且n iscosA3cosCnis,?ACc，求b. 21、（本小题满分16分）理科第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分4分；文科第1小题
满分8分，第2小题满分8分
设??(0,22?2)，函数f(x)的定义域为[0,1]，且f(0)?0,f(1)?1，对定义域内任意的x,y，满足
f(x?y)?f(x)sin??(1?sin?)f(y)，求： 21（1）f()及sin?的值；
2（3）（理）n?N时，an?（2）函数g(x)?sin(??2x)的单调递增区间；
1，求f(an),并猜测x?[0,1]时，f(x)的表达式（不需证明）. 2n
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22、（本小题满分16分）第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分
设数列?an?的前n项和为sn,对任意的正整数n，都有an?5sn?1成立，记bn?（Ⅰ）求数列?an?与数列?bn?的通项公式； （Ⅱ）证明：b2k?1?b2k?8（k为正整数）；
（Ⅲ）设数列?bn?的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rk?4k成立？若存在，找出一个正整
数k；若不存在，请说明理由.
23、（本小题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
设数列{an}的通项公式为an?pn?q(n?N?,P?0). 数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an?m成立的所有n中的最小值.
4?an(n?N?).， 1?an11,q??，求b3； 23（Ⅱ）若p?2,q??1，求数列{bm}的前2m项和公式；
（Ⅰ）若p?（Ⅲ）（理）是否存在p和q，使得bm?3m?2(m?N?)？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存
在，请说明理由. （文）若p?
1，是否存在q，使得bm?3m?2(m?N?)？如果存在，求q的取值范围；如果不3存在，请说明理由.
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参考答案
一、填空题（本大题满分56分） 本大题共有14题，将结果直接填写在答题纸相应的空格内
??3?1、{x?1?x?2}； 2、[,]； 3、?2， ??? ； 4、2； 5、； 6、n2； 7、20； 8、1； 9、20；
62210、k????，（文）14；（理）（1）（3）（4）；13、19； 14、（文）(4,1?； 11、?9； 12、（理）
1628]?(,28]；331?n?1??n?2? 6二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，在答题纸上将代表正确答案的小方格涂黑 15、B； 16、B； 17、D； 18、B；
三、解答题（本大题满分78分） 本大题共有5题，须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤 19、解:（1）f(x)=cos(2x+
???1?cos2x132)+sinx.=cos2xcos?sin2xsin???sin2x 3332221?3,最小正周期?. 2133,得 （2）由f?x??0， 得到 ?sin2x=0 即sin2x?x?223所以函数f(x)的最大值为20、解法一：在?ABC中?sinAcosC?3cosAsinC,
1?3? ，x?N kk??(?1)arcsin??2?3?a2?b2?c2b2?c2?a2?3?c,化简并整理得：2(a2?c2)?b2. 则由正弦定理及余弦定理有:a?2ab2bc222又由已知a?c?2b?4b?b.解得b?4或b?0(舍）.
22222解法二:由余弦定理得: a?c?b?2bccosA.又a?c?2b,b?0，所以b?2ccosA?2??① 又sinAcosC?3cosAsinC，?sinAcosC?cosAsinC?4cosAsinC sin(A?C)?4cosAsinC，即sinB?4cosAsinC
b由正弦定理得sinB?sinC，故b?4ccosA?????② 由①，②解得b?4.
c1?0121、解：（1）f(2)?f(2)?f(1)sin??(1?sin?)f(0)?sin?，
10?1又：f()?f()?f(0)sin??(1?sin?)f(1)?1?sin?，
22?sin??1?sin??sin??（2）由（1）知：sin??12??2(x? ，又??(0,?) ??? ?g(x)?sin(?2x)?sin266111 ?f()? 2225?6),
?,k???](k?Z)?g(x)的增区间为[k??2. 36 （3）?n?N，an?1， 2n1?0n?111112f(an)?f(n)?f()?f(n?1)?f(an?1)(n?N,n?2) 2222211?f(an)是首项为f(a1)?，公比为的等比数列，故
22f(an)?f(a1)?qn?1`?1，猜测：2nf(x)?x.
22、解：（Ⅰ）当n?1时，a1?5a1?1,?a1??1。又∵an?5Sn?1,an?1?5Sn?1?1 4上海市建平中学2009—2010学年度高三第一学期十二月月考数学试题 - 6 -
∴an?1?an?5an?1，即an?1??11an，∴数列{an}成等比数列，其首项an?1??an 441n4?(?)1n4(n?N*)∴an?(?)，b?n411?(?)n414?(?)n54?4?（II）证明：由（I）知bn? n1n(?4)?11?(?)4
552015?16k?40?b2k?1?b2k?8???8?k?k?8?k?8. 2k?12kk(?4)?1(?4)?116?116?4(16?1)(16?4)（Ⅲ）不存在正整数k，使得Rn?4k成立。证明如下：
5∴当n为偶数时，设n?2m(m?N?)∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?1?b2m)?8m?4n 当n为奇数时，设n?2m?1(m?N?)
∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?3?b2m?2)?b2m?1?8(m?1)?4?8m?4?4n ∴对于一切的正整数n，都有Rn?4k∴不存在正整数k，使得Rn?4k成立。
23、解：（Ⅰ）由题意，得an? ∴
111120n?，解n??3，得n?. 2323311n??3成立的所有n中的最小整数为7，即b3?7. 23m?1（Ⅱ）由题意，得an?2n?1，对于正整数，由an?m，得n?.
2**根据bm的定义可知，当m?2k?1时，bm?kk?N；当m?2k时，bm?k?1k?N.
????∴b1?b2???b2m??b1?b3???b2m?1???b2?b4???b2m?
??1?2?3???m????2?3?4????m?1????m?m?1?m?m?3???m2?2m. 22（Ⅲ）（理）假设存在p和q满足条件，由不等式pn?q?m及p?0得n?m?q. p∵bm?3m?2(m?N?),根据bm的定义可知，对于任意的正整数m 都有
3m?1?m?q?3m?2，即?2p?q??3p?1?m??p?q对任意的正整数m都成立. pp?q2p?q（或m??），这与上述结论矛盾！ 3p?13p?1当3p?1?0（或3p?1?0）时，得m??当3p?1?0，即p?
12121时，得??q?0???q，解得??q??. 33333?∴ 存在p和q，使得bm?3m?2(m?N)； p和q的取值范围分别是p? （文）同理科，有： ?121，??q??. 33321?q?? 33