Ch3、中值定理与导数的应用
§1、中值定理
一、罗尔定理
若f(x)满足①在?a,b?上连续；②在?a,b?内可导；③f(a)?f(b)，则在?a,b?内至少存在一点?,使f?(?)?0。
证：因f(x)?C[a,b]，故f(x)在?a,b?上有最大值M、最小值m，
若M?m,则f(x)?C，对任意??(a,b)，均有f?(?)?0，结论成立。 若M?m，因f(a)?f(b)，故f(a)和f(b)不能同时等于M和m，
不妨设f(a)?M，即f(x)在(a,b)内部一点?处取最大值。
f(???x)?f(?)f(???x)?f(?)?0,lim??0,即f?'(?)?0 当?x?0时,?x?0?x?x同理可证f?'(?)?0，又f(x)在?a,b?内可导，故f?'(?)?f?'(?)，即f?(?)?0。
??5??例1、验证罗尔定理对f(x)?sinx在?,?上的正确性。
?66?证：[条件验证]
??5????5?f(x)?sinx为初等函数,在?,?上连续,?,?66??66??内可导， ?????5??且f???f????ln2，即满足罗尔定理条件。
?6??6? [结论验证]
f?(x)?1???5?cosx?cotx，显然有????,sinx2?66??使f?(?)?0，故得证。 ? （既要验证条件，又要验证结论）
例2、设a0,a1,?,an为满足a0?aa1a2????n?0的实数，证明方程 23n?1a0?a1x?a2x2???anxn?0在内?0,1?至少有一个实根。 证：设f(x)?a0x?aa12a23x?x???nxn?1 23n?1则f(x)在?0,1?上连续，在?0,1?内连续，且f(0)?0，
f(1)?a0?aa1a2????n?0 23n?1 16-1
由罗尔定理，至少有一个???0,1?使f?(?)?a0?a1??a2?2???an?n?0 即a0?a1x?a2x2???anxn?0在内?0,1?至少有一个实根。
二、拉格朗日中值定理
若f(x)满足①在?a,b?上连续；②在?a,b?内可导，则至少存在一点???a,b?，使f(b)?f(a) ?(b?a)f?(?)。
f(b)?f(a)(x?a) 证：令F(x)?f(x)?f(a)?b?a 则F(x)在?a,b?上连续，在?a,b?内可导，且F(a)?F(b) 由罗尔定理，至少有一个???a,b?使F?(?)?0
f(b)?f(a)?f?(?)。 即
b?a① 因???a,b?，故?可记为??a??(b?a),其中0???1。
② 本定理的一般形式为使f(x??x)?f(x)?f?(?)?x或?y?f?(?)?x，
其中??x???x,0???1。
例3、设f(x)在?a,b?上连续，在?a,b?内可导，证明在?a,b?内至少存在一点?，
bf(b)?af(a)?f(?)??f?(?)。 使
b?a证：令F(x)?xf(x)，则F(x)在?a,b?上连续，在?a,b?内可导，
由Lagrange定理，有???a,b?使即
bf(b)?af(a)?f(?)??f?(?)
b?aF(b)?F(a)?F?(?)，
b?a
例4、设a?b?1,n?1，证明nbn?1(a?b)?an?bn?nan?1(a?b) 证：令f(x)?xn，则f(x)在?b,a?上连续，在?b,a?内可导，
f(b)?f(a)?f?(?)?n?n?1 故有???b,a?使
b?af(a)?f(b)n?1n?1?nan?1 又b???a,b???an?1，故nbn?1?a?b 即nbn?1(a?b)?an?bn?nan?1(a?b)
定理：在区间I上，f?(x)?0的充要条件是f(x)?C 证：充分性显然，下证必要性。
由f?(x)?0知，f(x)满足Lagrange定理条件，
对任意x1,x2?I，有使f(x1)?f(x2)?(x1?x2)f?(?)?0， 得f(x1)?f(x2)，从而f(x)?C。
例5、证明：arcsinx?arccosx??2,x???1,1?
2
证：令f(x)?arcsinx?arccosx??2
则f?(x)??1????1?x2?1?x21???0,得f(x)?C ?? 又f(0)?arcsin0?arccos0??2,即C??2 故arcsinx?arccosx??2,x???1,1? 同理可证arctanx?arccotx??2
三、柯西中值定理
若f(x),F(x)满足①在?a,b?上连续；②在?a,b?内可导；③F?(x)?0，则至少存在一???a,b?，
f(b)?f(a)f?(?)使?。 F(b)?F(a)F?(?)证：令?(x)?f(x)?f(a)?f(b)?f(a)?F(x)?F(a)?，
F(b)?F(a) 则?(x)在?a,b?上连续，在?a,b?内可导，且?(a)??(b)， 由罗尔定理，至少有一个???a,b?使??(?)?0， 即
f(b)?f(a)f?(?)?。
F(b)?F(a)F?(?)
例6、设f(x)在?a,b?上连续，在?a,b?内可导(a?0)，证明在?a,b?内至少存在一点?， 使2??f(b)?f(a)??b2?a2f?(?)。
证：令F(x)?x2，则f(x)、F(x)在?a,b?上连续，在?a,b?内可导，且F?(x)?2x?0
??由柯西定理，有???a,b?使
f(b)?f(a)f?(?)?，
?F(b)?F(a)F(?)即2??f(b)?f(a)??b2?a2f?(?)
??§2、洛必达法则
00定理1：若①limf(x)?limF(x)?0；②f(x),F(x)可导且F?(x)?0；
1、型
③limf(x)f(x)f?(x)存在或为?，则lim?lim F(x)F(x)F?(x)证：下设极限过程为x?a，x??时同理可证。
因limf(x)?limF(x)?0，
x?ax?a 3
故x?a为f(x)、F(x)的连续点或可去间断点，从而可得f(a)?F(a)?0。
设x为a邻域内一点，且x?a，则f(x)、F(x)在?a,x?上连续，在?a,x?内可导，且F?(x)?0，则柯西定理
f(x)?f(a)f?(?)?F(x)?F(a)F?(?)???a,x?,即f(x)f?(?) ??F(x)F(?)又x?a时，??a，且limx?af(x)存在或为? F(x)故limx?af(x)f?(?)f?(x)?lim?lim。 ??ax?aF(x)F?(?)F?(x)0型，即可试用法则。 0 ②在求极限时，最好将洛必达法则与等阶无穷小代换法则结合使用。
注：①在实际运用时，只要极限为
ex?e?x?2x例1、lim
x?0x?sinxex?e?x?2ex?e?xex?e?x?lim?lim?2 解：原式?limx?0x?0x?01?cosxsinxcosx?1?ln?1??x?例2、lim?
x??arccotx11?21?x2xx解：原式?lim?lim?lim2?1
x??arccotxx??x??1x?1?x2例3、lim?x?lnsinx2????2x2
1cosx1cotx1?csc2x1sinx解：原式?lim?lim?lim??
?4x??2x??4x??28x?2???2x?(?2)222
??定理2：若①limf(x)??,limF(x)??；②f(x),F(x)可导且F?(x)?0；
2、型
③limf(x)f(x)f?(x)存在或为?，则lim?lim F(x)F(x)F?(x)4
例4、limlnx(n?0)
x???xn1lnx1解：原式?limn?limx?lim?0
x???xx???nxn?1x???nxn
x?sinx例5、证明lim存在，但不可用洛必达法则计算。
x???x?sinx证：limx???x?sinx???1?cosx ??试用limx???1?cosxx?sinx???1?cosx不存在也不为?，故不可用洛必达法则计算。
x???1?cosx但此极限存在，事实上
11?sinx1?1?x原式?lim?1??0,sinx?1?sinx?0?
x???1x?x?1?sinxx因为lim
3、其它未定型
0?极限中共有七种未定型,,0??,???,00,1?,?0
0?①0??型???00 ???1lnxx??limx?0 ??xlnx0??例6、lim?lim?lim???x?0x?0x?0x?0?11?2xx????例7、limx??arctanx??0????lim2x???x????2?②???型??arctanx1x12x21?x?lim?lim?1
x???x???1?x21?2x?0 01121?x?1?lnx?0?1?1xx例8、lim? ???????lim?lim?lim????x?1x?1lnxx?1x?1x?111x?1?(x?1)lnx?0?2?lnx??2xxx1?0?0③0,1,?型记为?f(x)?g(x)
利用对数恒等式f?(x)?g(x)?eg(x)lnf(x),易证g(x)lnf(x)总是0??型
5