sinx0sinxlnxx?0?例9、limx0?lime?e??x?0x?0??limsinxlnx?0????ex?0?limxlnx?e0?1
??0????0?2ln?lnarctanx?2?例10、lim?arctanx?1??limex????x?????x???2?xln?arctanx??0??????x???lim?e1x
?e11?arctanx1?x2lim1x????2x?e?lim1x2?x???arctanx1?x2?e?2?
tanx??csc2x1x?0?xlim例11、lim?cotx??x?01lnx????lime0x?0?lncotx?????lnx??????e?limx?0?x2sin2x?e?e?1
§3、泰勒公式
1、Taylor中值定理
定理：若f(x)在x0的某邻域内有n?1阶导数，则在该邻域内
f??(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n2!n! (k)(n?1)nf(x0)f(?)?(x?x0)n?1??(x?x0)k?Rn(x)(n?1)!k!k?0Rn(x)称为余项，?介于x0与x之间。
①n?0时,f(x)?f(x0)?f?(?)(x?x0) 拉格朗日公式 ②显然余项Rn(x)可记为o(x?x0)n。
2、麦克劳林公式
f??(0)2f(n)(0)nx???x?Rn(x) 若x0?0，则f(x)?f(0)?f?(0)x?2!n!??此式称为n阶麦克劳林公式。
例1、求f(x)的麦克劳林公式
①f(x)?ex ②f(x)?sinx ③f(x)?ln(1?x) ④f(x)?(1?x)???R 解：①f(k)(x)?e，fnx(k)(0)?1，
f(k)(0)1? k!k!xkx2xn故e???Rn(x)?1?x?????o(xn)
2!n!k?0k!x 6
??????②f(k)(x)?sin?x?k??，f(k)(0)?sin?k??，
2???2?x2m?1x3x5x2m?1m故sinx??(?1)?Rn(x)?x?????(?1)?o(xn)
(2m?1)!3!5!(2m?1)!k?0nm2mx2mx2x4mx同理cosx??(?1)?Rn(x)?1?????(?1)?o(xn) (2m)!2!4!(2m)!k?0nm③f(k)(x)?(?1)nk?1f(k)(0)(?1)k?1(k?1)!(k)k?，f(0)?(?1)(k?1)!， k!k(1?x)kn(?1)k?1kx2x3k?1x故ln(1?x)??x?Rn(x)?x?????(?1)?o(xn) k23nk?1④f(k)(x)??(??1)?(??k?1)(1?x)??k，f(k)(0)??(??1)?(??k?1)，
f(k)(0)?(??1)?(??k?1)? k!k!故(1?x)???k?1n?(??1)?(??k?1)k!n!xk?Rn(x)?1??x??(??1)2!x2???
?(??1)?(??k?1)xn?oxn
??
例2、用Taylor公式求极限
cosx?e?x1??1①lim??? ②limx?0x?0xsinxx4??22
?x33??x??ox????x3!?xox3sinx?x???lim?lim???2解：①原式?lim2?x?0xsinxx?0x?0xx?6???????0
??22????x???????x2???2!??x2x4??4?4?????ox??1?2!?4!?ox???1???2!??2!??????????
②原式?limx?0x4????x4x4??ox4??1ox4248?lim??4 ?lim4?x?0x?0xx?12?????1???
??12 7
§4、函数单调性的判定
1、定理1：若在区间I内f?(x)?0（f?(x)?0），则f(x)在区间I上单调增加（减少）。 证：任取x1,x2?I,且x1?x2，则由拉格朗日定理，f(x1)?f(x2)?f?(?)(x1?x2)
若f?(x)?0，则f(x1)?f(x2)，f(x)在I上单调增加； 若f?(x)?0，则f(x1)?f(x2)，f(x)在I上单调减少。
例1、判定函数单调性
①y?2x3?6x2?18x?7 ②y?3x2 解：①y??6x2?12x?18?6(x?3)(x?1)
当x?3或x??1时，y??0；当?1?x?3时，y??0
故y在???,?1?,?3,???内单增，在??1,3?内单减。 ②y??21?3，当x?0时，y??0；当x?0时，y??0 3x故y在???,0?内单减，在?0,???内单增。
2、用单调性证明不等式（重要）
x2例2、证明不等式①x?ln(1?x)?x?2(x?0) ②sinx?tanx?2x????0?x??
2??证：①令f(x)?x?ln(1?x)，则f?(x)?1?1x??0，即f(x)单增 1?x1?x 又f(0)?0，故x?0时,f(x)?f(0)?0，即x?ln(1?x)
?1x2x2?再令g(x)?ln(1?x)???x?2??，g?(x)?1?x?1?x?1?x?0，即f(x)单增
??x2又g(0)?0，故x?0时,g(x)?g(0)?0，即ln(1?x)?x?
2x2从而x?ln(1?x)?x?
2 ②令f(x)?six?ntaxn，则
222f?(x)?cox?ssexc?2?coxs?1?2 2coxs1????cosx???0，即f(x)单增
cosx?? 又f(0)?0，故x?0时,f(x)?f(0)?0，即sinx?tanx?2x
8
0?x??2
3、定理2：单调函数在其单调区间内最多只能有一个零点。 例3、证明sinx?x只有一个实根。
证：令f(x)?x?sinx，则f(x)在??1,1?上连续，
且f(?1)?sin1?1?0,f(1)?1?sin1?0，故f(x)在??1,1?内至少有一个零点， 又f?(x)?1?cosx?0,x???1,1?，即f(x)单减，
由定理2，f(x)在??1,1?内最多只能有一个零点， 从而sinx?x有且仅有一个实根。
§5、函数的极值及求法
1、极值的定义
定义：若存在x0的一个邻域，对此邻域内除x0外的任何x，均有f(x)?f(x0)（f(x)?
，则称x0为f(x)的一个极大（小）点，f(x0)称为f(x)的一个极大（小）值。 f(x0)）
注：极值是局部性概念，仅在x0附近考虑；而最值是整体性概念，要在整个区间考虑。
2、函数取得极值的必要条件
定理1：若f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则f?(x0)?0。 证：不妨设x0为极大点，即在x0的某邻域内有f(x)?f(x0)(x?x0)
当x?x0时，
f(x)?f(x0)f(x)?f(x0)?0,f?'(x0)?lim?0 （保号性） ?x?xx?x0x?x00 同理f?'(x0)?0，又f(x)在x0处可导，即f?'(x0)?f?'(x0)，故f?(x0)?0。
注：①导数为零的点称为驻点，此时定理1可叙述为“对可导函数，极值点一定是驻点”。
②若可导函数无驻点，则函数无极值。
③驻点不一定为极值点。
例如，y?x3,y??3x2,有驻点x?0，但x?0不是极值点。
④千万不要误认为只有驻点才可能成为极值点，导数不存在的点也有可能成为极
?(1)驻点值点，即可能的极值点?(可疑点)
?(2)导数不存在的点??1x?0例如，y?x,y???，y在x?0处不可导，但y在x?0处有极小值0。
1x?0?
9
3、函数取得极值的充分条件 定理2：（判别法一）设f?(x0)?0或f?(x0)不存在
①若x?x0时，f?(x)?0，x?x0时，f?(x)?0，则x0为极大点。 ②若x?x0时，f?(x)?0，x?x0时，f?(x)?0，则x0为极小点。 ③若在x0两侧，f?(x)不变号，则x0不是极值点。
定理3：（判别法二）设f?(x0)?0 ①若f??(x)?0，则x0为极大点。 ②若f??(x)?0，则x0为极小点。 ③若f??(x)?0，则需进一步判断。
4、求极值步骤 ①求f?(x)。
②求出f(x)的驻点及f?(x)不存在的点。
③用判别法一或判别法二判定上述点是否为极值点，然后求出极值。
例、求极值
①y?2x3?3x2 ②y?1?(x?2)23 ③y?x1x(x?0) 解：①y??6x2?6x?6x(x?1),驻点x?0,1
法一：x?0时,y??0,x?0时,y??0,x?0为极大点，极大值为0 x?1时,y??0,x?1时,y??0,x?1为极小点，极小值为?1
法二：y???12x?6,y??(0)??6?0,y??(1)?6?0故x?0为极大点，x?1为极小点。
?221②y???(x?2)3???，f?(x)在x?2处不存在
333x?21x?2时,y??0,x?2时,y??0
故x?2为极大点，极大值为y(2)?1 ③y?e1lnxx,y??e1lnxx?211??1x??2lnx????x?1?lnx?,驻点x?e
xx??x1x?e时,y??0,x?e时,y??0，故x?e为极大点，极大值为y(e)?e
1e 10