另证：利用拉格朗日中值定理，或者泰勒中值定理．
五、 计算题（10分）
计算二次积分I??0?1dx?{sin(x)?1}edy??dx?{sin(x3)?1}eydy．
?x0113y21x2解：?edy积不出来，?考虑交换积分次序．
?y2I．
?第二个积分的内积分有上限?下限，?交换上下限??0?1dx?{sin(x3)?1}eydy??dx?{sin(x3)?1}eydy?x0x12112相应二重积分区域D如图所示．
I???(sin(x)?1)edxdyD3y2D左右对称sin(x3)为奇函数???eDy2dxdy?先x后y?e01y2dy?dx
?yy??2yedy??de?e001y21y2y210?e?1．
六、 计算题（10分）
求幂级数
?n3n?1?n?1x2n?1的收敛半径、收敛域及和函数．
un?1(x)11(n?1)3n?2x2n?12x?解：，收敛区间为，收敛半径为． ??lim?lim?3xn?12n?1n??u(x)n??n3x33n1当x??时，级数为
3(?11,)． 33?n3n?1?n?1?1(?3)??33?n，发散．?收敛域为n3n?1?n3n?1?n?1x2n?1??(n?1)3n?0?n?2x2n?1?9x?(n?1)(3x2)n
n?0?令y?3x2?9x?(n?1)y?9x?(ynn?0n?0??n?1)??9x(?yn?1)?
n?0?y(1?y)?y?(?1)19x?9x()??9x??9x??． 22221?y(1?y)(1?y)(1?3x)
七、 计算题（10分）
求曲面积分I????xdydz?ydzdx?zdxdy(x2?y2?z)322，其中?是球面
(x?1)2?(y?1)2?(z?1)2?4
的内侧． 解：（?直接计算困难，?考虑借助高斯公式）．
记r?x2?y2?z2，则P?xzyQ?R?，，． r3r3r3??P?x?(3)??x?xrr3?x?3r2?r6x22r?r?3x，
r5?Qr2?3y2?Rr2?3z2?有对称性可知，，， ??zr5?yr5?P?Q?R3r2?3r2有????0，?(x,y,z)?(0,0,0)．?可以改变积分闭曲面． 5?x?y?zr记?1:x?y?z??（0???2?3），取内侧， 则I改变积分闭曲面2222?xdydz?ydzdx?zdxdy?1方程1?33???2222?1(x?y?z)??xdydz?ydzdx?zdxdy
?1Gauss方程?1?(?3?1:x2?y2?z2??2???3dV)??1??3?1??343?3?????4? 33?1