山东省实验中学2017级第三次模拟考试
数学试题（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合S?xx?1?2,x?R,T??x????5?1,x?Z?,则S?T等于
?x?1?A．?x|0?x?3,x?Z? B． ?x|?1?x?3,x?Z? C．?x|?1?x?4,x?Z? D．?x|?1?x?0,x?Z? 2．已知复数z?2?2i，则z的共轭复数等于 1?iA.2i B.?2i C. i D.?i
3．甲乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，
若甲乙两人的平均成绩分别是x甲，x乙，则下列正确的是 乙 甲 A. x甲?x乙；乙比甲成绩稳定 B. x甲?x乙；甲比乙成绩稳定 C. x甲?x乙；乙比甲成绩稳定 D. x甲?x乙；甲比乙成绩稳定 4．下列说法中，正确的是
22A．命题“若am?bm，则a?b”的逆命题是真命题；
8 7 2 7 8 6 8 8 8 2 9 1 0 B．命题“?x?R，x?x?0”的否定是：“?x?R，x?x?0”； C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题； D．已知x?R，则“x?1”是“x?2”的充分不必要条件. 5．已知正项等比数列{an}中, a1?1,a3a7?4a6,则S6?
222开始 输入M，N 316163A. 2 B. C.D.
1632326．已知M? M?N 是 否 ?10?1dx,N??2cosxdx， 由如右程序框图输出的S为
0x?1S?N 输出S 结束 S?M A. 1 B. ln2 C. 7．为得到函数y?sin(2x?? D. 0 2?3)的导函数图象，只需把函数y?sin2x的图象上所有点的 ．．．
? 61?B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标向左平移
235?C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标向左平移
12A．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标向左平移
D．纵坐标缩短到原来的
15?倍，横坐标向左平移 268. 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息，设定原信
?运算规则息为a0a1a2,ai??0,1?(i?0,1,2),传输信息为h0a0a1a2h1,其中h0?a0?a1,h1?h0?a2，
为0?0?0,0?1?1,1?0?1,1?1?0.例如原信息为111，则传输信息为01111，传输信息在传输过程
中受到干扰可能导致接受信息出错，则下列接受信息一定有误的是 A． 11010 B．01100 C．10111 D．00011
9. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
1619419A．? B．? C．? D．?
33312[来源:GksTkGKSTK]10. 直线y?mx与圆x2?y2?mx?ny?4?0交于M、N两点，且M、N关于直线x?y?0对称，2则弦MN的长为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
11.已知方程：x2?ax?2b?0 (a?R,b?R)，其一根在区间(0,1)内,另一根在区间(1,2)内，则
z?(a?3)2?b2的取值范围为
A. (21,2) B. (,4) C. (1,2) D. (1,4) 2212. 设f(x)是R上的可导函数，且满足f?(x)?f(x)，对任意的正实数a，下列不等式恒成立的是
A.f(a)?eaf(0)； B.f(a)?eaf(0)； C.f(a)?f(0)f(0)； D.f(a)?aa； ee第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共有4个小题，每小题4分，共计16分,请将答案写在答题纸的相应位置. 13. 二项式 (x?26)的展开式中的常数项是__________. xx2y222214. 过双曲线2?2?1的左焦点F作⊙O: x?y?a的两条切线，记切点为A,B,双曲线左顶点为C，
ab若?ACB?120,则双曲线的离心率为____________.
15. 将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A
班，那么不同的分配方案方法种数为______________（用数字作答）.
16. 在△ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交边AB，AC于M、N两点，设
??????????????????AM?xAB,AN?yAC,(xy?0)则4x?y的最小值是_________
三、解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 设△ABC三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p?(a,2b)，q?(sinA,1)，且p//q．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC是锐角三角形，m?(cosA,cosB),n?(1,sinA?cosAtanB)，求m?n的取值范围． 18．（本小题满分12分）
山东省某示范性高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座概率如下表：
周一 周三 周五 信息技术 生物 化学 物理 数学 1 41 21 31 41 21 31 41 21 31 41 21 31 22 32 3（Ⅰ）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率;
（Ⅱ）设周三各辅导讲座满座的科目数为?，求随即变量?的分布列和数学期望. 19．（本小题满分12分）
如图，四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，A1D?平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱
A1A?2，
（Ⅰ）证明：AC?A1B；
（Ⅱ）若棱AA1上存在一点P，使得AP??PA1，
C1 D1 B1 A1 C D 第19题 B A 当二面角A?B1C1?P的大小为30时，求实数?的值． 20．（本小题满分12分）
?已知各项均为正数的数列{an}中，a1?1,Sn是数列?an?的前n项和，对任意n?N，有
?22Sn?2an?an?1.函数f(x)?x2?x，数列{bn}的首项b1?31,bn?1?f(bn)?. 24（Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）令cn?log2(bn?1)求证：{cn}是等比数列并求{cn}通项公式； 2（Ⅲ）令dn?an?cn，(n为正整数），求数列{dn}的前n项和Tn. 21．（本小题满分12分）
x2y2如图，椭圆E：2?2?1(a?b?0)的右焦点F2与抛物线y2?4x的焦点重合，过F2作与x轴垂
ab直的直线l与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且（Ⅰ）求椭圆E的方程；
CDST?22．
????????????（Ⅱ）若过点M(2,0)的直线与椭圆E相交于两点A,B，设P为椭圆E上一点，且满足OA?OB?tOP（O????????25为坐标原点），当|PA?PB|?时，求实数t的取值范围．
3
22. （本小题满分14分）
已知函数f(x)?lnx,g(x)?12ax?bx(a?0) 2(Ⅰ)若a??2时，函数h(x)?f(x)?g(x)在其定义域上是增函数，求b的取值范围； (Ⅱ)在（Ⅰ）的结论下，设函数?(x)?e2x?bex,x?[0,ln2],求函数?(x)的最小值；
(Ⅲ)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交
C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.
山东省实验中学2017级第三次模拟考试 数学试题（理科）参考答案与评分标准
1、A 2、A 3、C 4、B 5、D 6、B 7、C 8、C 9、B 10、C 11、B 12、B 二、填空题
13、120; 14、2; 15、24; 16、三、解答题
17、解 :（Ⅰ）∵ p?(a,2b)，q?(sinA,1)，且p//q，
∴ a－2bsinA = 0，由正弦定理得 sinA－2sinB sinA = 0． ???????? 3分
5??1∵ 0＜A，B，C＜?，∴ sinB?，得 B?或B?． ???????? 5分
626（Ⅱ）∵ △ABC是锐角三角形，∴ B?9 4?6， ------------6分
33),n?(1,sinA?cosA)， 23?3313于是 m?n?cosA?sinA=sin(A?)． ?? 8分 (sinA?cosA)=cosA?622235?5??5???C?(,)． 由 A?C???B? 及 0＜C＜，得 A?66362????2??结合0＜A＜，∴ ?A?，得 ?A??， --------10分
322632m?(cosA,33??sin(A?)?1?m?n?1262∴ ，即 ． ------12分
18、解：（1）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，则
1221P(A)?(1?)(1?)(1?)? --------3分
23318（2）?可能取值为0，1，2，3，4，5
121P(??0)?(1?)4?(1?)?
23481212111P(??1)?C4?(1?)3?(1?)?(1?)4?? 223238112127211P(??2)?C4?()2(1?)2?(1?)?C4??(1?)3?? 22322324112112132P(??3)?C4?()3(1?)?(1?)?C4?()2?(1?)2??
22322331211233P(??4)?()4?(1?)?C4?()3?(1?)??
2322316121P(??5)?()4?? -----------9分
2324所以，随即变量?的分布列如下
? P 0 1 2 3 4 5 1713 8243161171318E??0??1??2??3??4??5?=-----------12分
4882431624319、解：以DA,DC,DA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建系
则D?0,0,0?1 481 24??C??1,1,3?---------------1分
（Ⅰ）AC???1,1,0?AB??1,1,?3?
∴AC?AB??1?1?1?1?0???3??0 ∴AC?AB--------------4分
B?1,1,0?D1?1,0,3B10,1,31?A?1,0,0??C?0,1,0?A10,0,3
??111??，设平面AB1C1的一个法向量为n1??x1,y1,z1?，,0,（Ⅱ）∵AP??PA1 ∴P???1??1????13??