2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理）试题解析
本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
参考公式：柱体的体积公式V?Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．
??b???a?y?bx线性回归方程中系数计算公式
表示样本均值．
?(x?x)(y?y)iii?1n?(x?x)ii?1n2??y?bx?a，，其中x，ynnn?1n?2n?2n?1n是正整数，则a?b?(a?b)(a?ab???ab?b)．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设复数z满足(1?i)z?2，其中i为虚数单位，则z?
A．1?i B．1?i C．2?2i D．2?2i
z?
解析：（B）．
22(1?i)??1?i1?i(1?i)(1?i)
22x?y?1}，B?{(x,y)|x,y为实数，A?{(x,y)|x,y2．已知集合为实数，且且y?x}，
则A?B的元素个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
22x?y?1与直线y?x的交点个数，显然A?B解析：（C）．的元素个数等价于圆
有2个交点
3．若向量a,b,c满足a∥b且a?c，则c?(a?2b)?
A．4 B．3 C．2 D．0
解析：（D）．依题意得c?a，c?b，则c?(a?2b)?c?a?2c?b?0
4．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A．C．
f(x)?g(x)f(x)?g(x)是偶函数 B．是偶函数 D．
f(x)?g(x)f(x)?g(x)是奇函数 是奇函数
以定
f(x)g(x)解析：（A）．由f(x)是偶函数、g(x)是奇函数，得和都是偶函数，所f(x)?g(x)与
f(x)?g(x)都是偶函数，f(x)?g(x)与
f(x)?g(x)的奇偶性不能确
?0≤x≤2??y≤2?x≤2y给定．若M(x,y)为DxOy5．已知平面直角坐标系上的区域D由不等式组?上的动点，点A
?????????的坐标为(2,1)，则z?OM?OA的最大值为
A．42 B．32 C．4 D．3
解析：（C）．z?2x?y，即y??2x?z，画出不等式组表示的平面区域，易知
2?2?2?4
z?当直线y??2x?z经过点(2,2)时，z取得最大值，max6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．
若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
1323A．2 B．5 C．3 D．4
解析：（D）．乙获得冠军的概
3 2 3 111??率为224，则甲队获得冠军的1?概率为
正视图
7．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧图1 图都是矩形，则该几何体的体积
1 2 1
1 2 1
俯视图
图3
13?44
侧视图
视图（左视图）和俯视图2 为
A．63 B．93 C．123 D．183
解析：（B）．该几何体是一个底面为平行四边形，高为3的四棱柱，易求得平行四边
形的高为3，
则V?Sh?3?3?3?93 8．设S是整数集Z的非空子集，如果?a,b?S，有ab?S，则称S关于数的乘法是封闭的．若T,V是Z
的两个不相交的非空子集，T?V?Z，且?a,b,c?T，有abc?T；?x,y,z?V，有
xyz?V，则下列结论恒成立的是
A．T,V中至少有一个关于乘法是封闭的 B．T,V中至多有一个关于乘法是封闭的
C．T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的 D．T,V中每一个关于乘法都是封闭的
解析：（A）．若T为奇数集，V为偶数集，满足题意，此时T与V关于乘法都是封
闭的，排除B、C
若T为负整数集，V为非负整数集，也满足题意，此时只有V关于乘法是封闭的，排除D
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9 ~ 13题） 9．不等式
x?1?x?3≥0的解集是 ．
解析：[1,??)．
x?1?x?3x?1x?3?(x?1)2(x?3)2?x?≥0 ≥≥≥1
2x(x?)7x的展开式中，x4的系数是 （用数字作答） 10．
解析：84．
22r7?rrx(x?)7Tr?1?xC7x(?)r?C7(?2)rx8?2rr?4得r?2，则x的通项x，由8?22C7(?2)2?84
11．等差数列
{an}前9项的和等于前4项的和．若
a1?1，
ak?a4?0，则
k? ．
解析：10．
方法1：由
S9?S4得
9?36d?4?6dd??，
求
得
16，则
11ak?a4?1?(k?1)?(?)?1?3?(?)?066，解得k?10
方法2：由即k?10
32f(x)?x?3x?1在x? 处取得极小值． 12．函数
S9?S4得
a5?a6?a7?a8?a9?0，即
5a7?0a7?0，
，即
a1a?20?47a?0，
解析：2．
f?(x)?3x2?6x?3x(x?2)，令f?(x)?0得x?0或x?2，显然当x?0时f?(x)?0；
32??f(x)?x?3x?1在x?2处取得f(x)?0f(x)?00?x?2x?2当时；当时，函数
极小值
13．某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm．因
儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm． 解析：185． 设父亲的身高为xcm，儿子的身高为ycm，则根据上述数据可得到如下表格：
x y 173 170 170 176 176 182 182 ？ 上表中的最后一组(182,?)是预测数据，x?173,y?176
??b?(x?x)(y?y)iii?1n?(x?x)ii?1n?20?0?3?6?1220?3?3??y?bx??3a，
??线性回归方程y?x?3，所以当x?182时，y?185，即他孙子的预测身高为185 cm．
（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）
??x?5cos???y?sin?(0≤???)14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为?52?x?t?4??y?t (t?R)，它们的交点坐标为___________． 和?
(1,
解析：
25)5．
52?x?t??x?5cos?2?4?x2??y?1?(?5?x?5且0?y?1)，??y?sin??y?t表示抛物线表示椭圆5y2?4x5
?x2?y2?1(?5?x?5且0?y?1)??5?x2?4x?5?0?x?1??y2?4x?5?或x??5（舍去），
又因为0?y?1，所以它们的交点坐标为
15．（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O外一点P分别作[来源:Zxxk.Com] 圆的切线和割线交圆于A,B，且PB?7，C是圆上一点使得
(1,25)5
A O ? C
图4
BC?5，?BAC??APB，则AB?___________．
解析：35．
P
B 由弦切角定理得?PAB??ACB，又?BAC??APB，
PBAB?ACBABBC，AB2?PB?BC?35，即AB?35 PAB则△∽△，则
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
1?f(x)?2sin(x?)36，x?R． 已知函数